Forneça a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s) a seguir.
g(x, y, z)=\frac{x}{y-z} ; \quad \frac{\partial^{3} g}{\partial z \partial y \partial x}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle g(x,y,z)=\frac{x}{y-z} e pede a derivada mista de terceira ordem
\frac{\partial^{3} g}{\partial z\partial y\partial x}.
Informações relevantes: a função está definida quando y\neq z (pois o denominador não pode ser zero). A notação \displaystyle \frac{\partial^{3} g}{\partial z\partial y\partial x} significa que a diferenciação é feita primeiro em x, depois em y sobre o resultado, e por fim em z sobre o resultado obtido — a ordem é da direita para a esquerda.

Passo 2

Primeiro precisamos lembrar o que é derivada parcial em termos simples: ao calcular \displaystyle \frac{\partial g}{\partial x} tratamos y e z como constantes e derivamos g em relação a x como se fosse uma função de uma variável. A regra básica: se g(x,y,z)=\frac{x}{y-z} e y,z são constantes, então o quociente é linear em x, logo
\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{1}{y-z}.
Explicando passo a passo: escrevemos g(x,y,z)=x\cdot (y-z)^{-1}. Como (y-z)^{-1} é apenas uma constante quando derivamos em relação a x, a derivada de x é 1, portanto o produto dá (y-z)^{-1}.

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial em y do resultado anterior. Temos a função intermediária
h(y,z)=\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{1}{y-z}=(y-z)^{-1}.
Para derivar h em relação a y usamos a regra da potência combinada com a regra da cadeia. A regra da potência diz que \frac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}. Aplicando a t=(y-z) e n=-1 obtemos
\frac{\partial}{\partial y}(y-z)^{-1} = -1\cdot (y-z)^{-2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(y-z).
Como \frac{\partial}{\partial y}(y-z)=1 (porque z é tratado como constante), concluímos
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)= -\,\frac{1}{(y-z)^{2}}.

Passo 4

Finalmente, diferenciamos o resultado do Passo 3 em relação a z. A função a diferenciar é
k(y,z)= - (y-z)^{-2}.
Usamos novamente a regra da potência e a regra da cadeia. Escrevendo explicitamente:
\frac{\partial k}{\partial z} = -\biggl[ -2\cdot (y-z)^{-3}\cdot\frac{\partial}{\partial z}(y-z)\biggr].
Aqui \frac{\partial}{\partial z}(y-z)=-1 porque ao derivar y-z por z obtemos -1. Substituindo esse valor dentro do colchete:
\frac{\partial k}{\partial z}= -\bigl[ -2\cdot (y-z)^{-3}\cdot (-1)\bigr].
Agora calculamos os sinais passo a passo: dentro do colchete temos -2\cdot(-1)=2, então o colchete vale 2\,(y-z)^{-3}. Multiplicando pelo sinal externo - resulta em
\frac{\partial k}{\partial z} = -\,2\,(y-z)^{-3}.
Ou seja,
\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)\right) = -\frac{2}{(y-z)^{3}}.
Observação intuitiva: o resultado não depende de x porque a primeira diferenciação em x retirou a dependência linear em x; as duas derivações seguintes atuaram apenas na parte (y-z)^{-1}.

Passo 5

Se você quiser checar com um número para ter confiança: escolha, por exemplo, (x,y,z)=(1,3,2). Então (y-z)=1, e nossa fórmula dá -2/(1)^{3}=-2. Se você fizesse as diferenças finitas (aproximações numericamente) veria algo coerente com -2. Isso é só para acalmar o coração antes da prova — o raciocínio algébrico acima é a forma exata e limpa de chegar na resposta.

Resposta

\displaystyle -\frac{2}{(y-z)^{3}}

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