Forneça a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s) a seguir.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada mista de terceira ordem
Informações relevantes: a função está definida quando
(pois o denominador não pode ser zero). A notação
significa que a diferenciação é feita primeiro em
, depois em
sobre o resultado, e por fim em
sobre o resultado obtido — a ordem é da direita para a esquerda.
Passo 2
Primeiro precisamos lembrar o que é derivada parcial em termos simples: ao calcular
tratamos
e
como constantes e derivamos
em relação a
como se fosse uma função de uma variável. A regra básica: se
e
são constantes, então o quociente é linear em
, logo
Explicando passo a passo: escrevemos
. Como
é apenas uma constante quando derivamos em relação a
, a derivada de
é
, portanto o produto dá
.
Passo 3
Agora calculamos a derivada parcial em
do resultado anterior. Temos a função intermediária
Para derivar
em relação a
usamos a regra da potência combinada com a regra da cadeia. A regra da potência diz que
. Aplicando a
e
obtemos
Como
(porque
é tratado como constante), concluímos
Passo 4
Finalmente, diferenciamos o resultado do Passo 3 em relação a
. A função a diferenciar é
Usamos novamente a regra da potência e a regra da cadeia. Escrevendo explicitamente:
Aqui
porque ao derivar
por
obtemos
. Substituindo esse valor dentro do colchete:
Agora calculamos os sinais passo a passo: dentro do colchete temos
, então o colchete vale
. Multiplicando pelo sinal externo
resulta em
Ou seja,
Observação intuitiva: o resultado não depende de
porque a primeira diferenciação em
retirou a dependência linear em
; as duas derivações seguintes atuaram apenas na parte
.
Passo 5
Se você quiser checar com um número para ter confiança: escolha, por exemplo,
. Então
, e nossa fórmula dá
. Se você fizesse as diferenças finitas (aproximações numericamente) veria algo coerente com
. Isso é só para acalmar o coração antes da prova — o raciocínio algébrico acima é a forma exata e limpa de chegar na resposta.