Forneça a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s) a seguir.
f(x, y)=\operatorname{sen}(5 x-3 y) ; f_{x x y}

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x,y)=\operatorname{sen}(5x-3y) e pede a derivada parcial mista f_{xxy} (primeiro derivar duas vezes em relação a x e depois uma vez em relação a y). As informações relevantes são:
  • A função é f(x,y)=\operatorname{sen}(5x-3y).
  • Precisamos calcular f_{xxy}, isto é \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right).

Passo 2

Recordando a regra da cadeia para derivadas parciais: se f(x,y)=\operatorname{sen}(u(x,y)) com u dependendo de x,y, então
\frac{\partial f}{\partial x}=\cos(u(x,y))\cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui u(x,y)=5x-3y. Vamos primeiro observar as derivadas parciais de u:
\frac{\partial u}{\partial x}=5,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-3.
Explicação rápida e prática: a derivada de \operatorname{sen}(u) em relação a qualquer variável é \cos(u) multiplicado pela derivada da parte interna u em relação àquela variável.

Passo 3

Calculemos a primeira derivada parcial em x, usando a regra da cadeia:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{sen}(5x-3y)=\cos(5x-3y)\cdot 5.
Portanto
f_x=5\cos(5x-3y).

Passo 4

Agora derivamos f_x novamente em relação a x para obter f_{xx}. Aplicamos novamente a regra da cadeia: a derivada de \cos(5x-3y) em x é -\sin(5x-3y) vezes \dfrac{\partial}{\partial x}(5x-3y)=5. Assim,
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(5\cos(5x-3y)\bigr)=5\cdot\bigl(-\sin(5x-3y)\bigr)\cdot 5.
Simplificando:
f_{xx}=-25\sin(5x-3y).

Passo 5

Finalmente, derivamos f_{xx} em relação a y para obter f_{xxy}. Usamos a regra da cadeia mais uma vez: a derivada de \sin(5x-3y) em y é \cos(5x-3y) vezes \dfrac{\partial}{\partial y}(5x-3y)=-3. Assim,
f_{xxy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-25\sin(5x-3y)\bigr)=-25\cdot\cos(5x-3y)\cdot(-3).
Observe os sinais: o -25 já estava fora e a derivada da \sin \cos multiplicado por -3, resultando em produto -25\cdot(-3)=75.

Passo 6

Simplificando o resultado obtemos a forma final da derivada mista:
f_{xxy}=75\cos(5x-3y).

Resposta

75\cos(5x-3y)

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