Forneça a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s) a seguir.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede a derivada parcial mista
(primeiro derivar duas vezes em relação a
e depois uma vez em relação a
). As informações relevantes são:
- A função é
. - Precisamos calcular
, isto é .
Passo 2
Recordando a regra da cadeia para derivadas parciais: se
com
dependendo de
, então
Aqui
. Vamos primeiro observar as derivadas parciais de
:
Explicação rápida e prática: a derivada de
em relação a qualquer variável é
multiplicado pela derivada da parte interna
em relação àquela variável.
Passo 3
Calculemos a primeira derivada parcial em
, usando a regra da cadeia:
Portanto
Passo 4
Agora derivamos
novamente em relação a
para obter
. Aplicamos novamente a regra da cadeia: a derivada de
em
é
vezes
. Assim,
Simplificando:
Passo 5
Finalmente, derivamos
em relação a
para obter
. Usamos a regra da cadeia mais uma vez: a derivada de
em
é
vezes
. Assim,
Observe os sinais: o
já estava fora e a derivada da
dá
multiplicado por
, resultando em produto
.
Passo 6
Simplificando o resultado obtemos a forma final da derivada mista: