Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. f(x, y)=x e^{x y} em (2,0, f(2,0)).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a equação do plano tangente e a equação da reta normal ao gráfico da função, no ponto dado. As informações que temos são:
A função \displaystyle f(x,y)=x e^{xy}.
O ponto indicado é \displaystyle (2,0,f(2,0)).
Portanto precisamos determinar explicitamente o ponto no espaço e depois calcular derivadas parciais para obter o plano tangente e a reta normal.
Passo 2
Vamos lembrar qual é a fórmula do plano tangente ao gráfico de uma função \displaystyle z=f(x,y) no ponto (a,b,f(a,b)). A ideia é usar a aproximação linear da função em torno do ponto: se você se move um pouco em x e em y, a variação de z é aproximadamente dada pelas derivadas parciais. A fórmula é
z = f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b).
Aqui:
\displaystyle f_x(a,b) é a derivada parcial de f em relação a x avaliada em (a,b): mede a taxa de variação de z quando só x varia.
\displaystyle f_y(a,b) é a derivada parcial de f em relação a y avaliada em (a,b): mede a taxa de variação de z quando só y varia.
Vamos então calcular essas derivadas no ponto (2,0) e o valor \displaystyle f(2,0).
Passo 3
Calculando as derivadas parciais de \displaystyle f(x,y)=x e^{xy}.
Para \displaystyle f_x(x,y) usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Resumo: o ponto do gráfico é \displaystyle (2,0,2) e as derivadas parciais lá valem \displaystyle f_x(2,0)=1 e \displaystyle f_y(2,0)=4.
Passo 5
Substituímos na fórmula do plano tangente:
z = f(2,0) + f_x(2,0)\,(x-2) + f_y(2,0)\,(y-0).
Reescrevendo com os valores:
z = 2 + 1\cdot (x-2) + 4\cdot y.
Simplificando:
z = 2 + x - 2 + 4y \quad\Rightarrow\quad z = x + 4y.
Portanto a equação do plano tangente (forma explícita) é \displaystyle z = x + 4y. Se preferir a forma implícita, pode escrever \displaystyle x - z + 4y = 0.
Passo 6
Agora a reta normal: a normal ao plano tangente (ou ao gráfico) é dada por um vetor perpendicular ao plano. Uma escolha prática de vetor diretor da reta normal é
\big(f_x(a,b),\,f_y(a,b),\,-1\big).
Isto vem do gradiente da função F(x,y,z)=f(x,y)-z, que é (f_x,f_y,-1) e é perpendicular ao nível F=0 que é exatamente o gráfico. Avaliando em (2,0) obtemos o vetor diretor
\big(f_x(2,0),\,f_y(2,0),\,-1\big)=(1,4,-1).
A reta normal passando por (2,0,2) com esse vetor diretor tem equações paramétricas (usando parâmetro t):
\begin{cases} x(t)=2+t,\\[4pt] y(t)=0+4t=4t,\\[4pt] z(t)=2- t. \end{cases}
Também se pode escrever a forma simétrica (dividindo por componentes não nulas):
\frac{x-2}{1}=\frac{y-0}{4}=\frac{z-2}{-1}=t.]
Resposta
Plano tangente: \displaystyle z = x + 4y
Reta normal (paramétrica): \displaystyle x=2+t,\; y=4t,\; z=2-t