Forneça \vec{a}-\vec{b} em termos de
c) vetores unitários e
d) módulo e ângulo em relação a \hat{\mathbf{i}}.

Passo 1

O enunciado pede para fornecer \vec{a}-\vec{b} em duas formas:
  1. (c) em termos de vetores unitários (ou seja, componentes sobre \hat{\mathbf{i}} e \hat{\mathbf{j}});
  2. (d) em termos do módulo e do ângulo em relação a \hat{\mathbf{i}}.
Informações dadas no enunciado: nenhuma — os vetores \vec{a} e \vec{b} não tiveram seus componentes nem seus módulos/ângulos especificados.
Consequência: não há como obter um resultado numérico específico sem esses dados. Vou, portanto, apresentar uma resolução geral, passo a passo, que você poderá aplicar com quaisquer valores de \vec{a} e \vec{b}. Vou também mostrar um exemplo numérico ilustrativo para fixar a técnica.

Passo 2

Representação geral em componentes (vetores unitários).
Defina os componentes cartesianos de cada vetor:
\vec{a}=a_x\hat{\mathbf{i}}+a_y\hat{\mathbf{j}},\qquad \vec{b}=b_x\hat{\mathbf{i}}+b_y\hat{\mathbf{j}}.
Explicação: a_x é a projeção de \vec{a} sobre o eixo x (direção \hat{\mathbf{i}}), e a_y é a projeção sobre o eixo y (direção \hat{\mathbf{j}}). Mesma coisa para b_x,b_y.

Passo 3

Subtrair os vetores componente a componente (forma em vetores unitários).
A subtração é feita coordenada a coordenada:
\vec{a}-\vec{b}=(a_x-b_x)\hat{\mathbf{i}}+(a_y-b_y)\hat{\mathbf{j}}.
Interpretação prática: pega-se a componente x de \vec{a} e subtrai-se a componente x de \vec{b}; igual para y. Essa é a resposta em termos de vetores unitários (parte c).

Passo 4

Se \vec{a} e \vec{b} vierem dados por módulo e ângulo (forma polar), converta para componentes antes de subtrair.
Se \vec{a} tem módulo A e ângulo \alpha medido a partir de \hat{\mathbf{i}} e \vec{b} tem módulo B e ângulo \beta, então:
\vec{a}=(A\cos\alpha)\,\hat{\mathbf{i}}+(A\sin\alpha)\,\hat{\mathbf{j}},
\vec{b}=(B\cos\beta)\,\hat{\mathbf{i}}+(B\sin\beta)\,\hat{\mathbf{j}}.
Justificativa didática: \cos dá a projeção horizontal (adjacente no triângulo), \sin dá a projeção vertical (oposto). Essas são fórmulas padrão de conversão polar → cartesiano.

Passo 5

Aplicando a subtração às formas polares convertidas, obtemos (forma em vetores unitários usando módulos/ângulos):
\vec{a}-\vec{b}=\bigl(A\cos\alpha-B\cos\beta\bigr)\hat{\mathbf{i}}+\bigl(A\sin\alpha-B\sin\beta\bigr)\hat{\mathbf{j}}.
Esse é o resultado da parte (c) quando os vetores são dados por (A,\alpha) e (B,\beta).

Passo 6

Agora queremos (d): módulo e ângulo de \vec{a}-\vec{b}. Primeiro o módulo. Se chamamos
\Delta_x = a_x-b_x,\qquad \Delta_y = a_y-b_y,
então o módulo é
\bigl|\vec{a}-\vec{b}\bigr|=\sqrt{\Delta_x^{2}+\Delta_y^{2}}.
No caso polar (usando A,\alpha,B,\beta) isso fica
\bigl|\vec{a}-\vec{b}\bigr|=\sqrt{\bigl(A\cos\alpha-B\cos\beta\bigr)^{2}+\bigl(A\sin\alpha-B\sin\beta\bigr)^{2}}.
Podemos simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas. Desenvolvendo os quadrados e usando \cos^{2}+\sin^{2}=1 e \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta), obtém-se a forma elegante
\bigl|\vec{a}-\vec{b}\bigr|=\sqrt{A^{2}+B^{2}-2AB\cos(\alpha-\beta)}.
Esta é uma forma muito útil (analogia com lei dos cossenos).

Passo 7

Cálculo do ângulo \theta de \vec{a}-\vec{b} em relação a \hat{\mathbf{i}}.
Se \Delta_x e \Delta_y são as componentes do vetor resultante, então o ângulo é dado por
\theta=\operatorname{atan2}\bigl(\Delta_y,\Delta_x\bigr).
Explicação prática: \operatorname{atan2}(y,x) é a função arco-tangente que leva em conta o sinal de x e y para colocar o ângulo no quadrante correto; evita erros de 180^\circ. Se você só usar a forma \theta=\arctan\!\bigl(\tfrac{\Delta_y}{\Delta_x}\bigr), precisa cuidar manualmente do sinal de \Delta_x e do quadrante.
No caso polar:
\theta=\operatorname{atan2}\!\bigl(A\sin\alpha-B\sin\beta,\;A\cos\alpha-B\cos\beta\bigr).

Passo 8

Exemplo numérico ilustrativo (sem usar calculadora, com valores que dão razões trigonométricas simples).
Escolha A=5, \alpha=30^\circ e B=3, \beta=120^\circ. Primeiro convertemos:
A\cos\alpha=5\cdot\cos 30^\circ=5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2},
A\sin\alpha=5\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{2},
B\cos\beta=3\cdot\cos 120^\circ=3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{2},
B\sin\beta=3\cdot\sin 120^\circ=3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.
Subtraindo:
\Delta_x=\frac{5\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{5\sqrt{3}+3}{2},
\Delta_y=\frac{5}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{5-3\sqrt{3}}{2}.
Módulo (usando a forma simplificada):
\bigl|\vec{a}-\vec{b}\bigr|=\sqrt{5^{2}+3^{2}-2\cdot5\cdot3\cos(30^\circ-120^\circ)} =\sqrt{25+9-30\cos(-90^\circ)}=\sqrt{34},
pois \cos(-90^\circ)=0. O ângulo é
\theta=\operatorname{atan2}\!\Bigl(\frac{5-3\sqrt{3}}{2},\;\frac{5\sqrt{3}+3}{2}\Bigr),
que numericamente é um ângulo muito pequeno (próximo de -1^\circ neste exemplo).

Resposta

(c) \displaystyle \vec{a}-\vec{b}=(a_x-b_x)\hat{\mathbf{i}}+(a_y-b_y)\hat{\mathbf{j}}=\bigl(A\cos\alpha-B\cos\beta\bigr)\hat{\mathbf{i}}+\bigl(A\sin\alpha-B\sin\beta\bigr)\hat{\mathbf{j}}.
(d) \displaystyle \bigl|\vec{a}-\vec{b}\bigr|=\sqrt{(a_x-b_x)^{2}+(a_y-b_y)^{2}}=\sqrt{A^{2}+B^{2}-2AB\cos(\alpha-\beta)}
\displaystyle \theta=\operatorname{atan2}\!\bigl(a_y-b_y,\;a_x-b_x\bigr)=\operatorname{atan2}\!\bigl(A\sin\alpha-B\sin\beta,\;A\cos\alpha-B\cos\beta\bigr).

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