Forneça \vec{a}-\vec{b} em termos de
c) vetores unitários e
d) módulo e ângulo em relação a \hat{\mathbf{i}}.
Passo 1
O enunciado pede para fornecer \vec{a}-\vec{b} em duas formas:
(c) em termos de vetores unitários (ou seja, componentes sobre \hat{\mathbf{i}} e \hat{\mathbf{j}});
(d) em termos do módulo e do ângulo em relação a \hat{\mathbf{i}}.
Informações dadas no enunciado: nenhuma — os vetores \vec{a} e \vec{b} não tiveram seus componentes nem seus módulos/ângulos especificados.
Consequência: não há como obter um resultado numérico específico sem esses dados. Vou, portanto, apresentar uma resolução geral, passo a passo, que você poderá aplicar com quaisquer valores de \vec{a} e \vec{b}. Vou também mostrar um exemplo numérico ilustrativo para fixar a técnica.
Passo 2
Representação geral em componentes (vetores unitários).
Defina os componentes cartesianos de cada vetor:
Explicação: a_x é a projeção de \vec{a} sobre o eixo x (direção \hat{\mathbf{i}}), e a_y é a projeção sobre o eixo y (direção \hat{\mathbf{j}}). Mesma coisa para b_x,b_y.
Passo 3
Subtrair os vetores componente a componente (forma em vetores unitários).
A subtração é feita coordenada a coordenada:
Interpretação prática: pega-se a componente x de \vec{a} e subtrai-se a componente x de \vec{b}; igual para y. Essa é a resposta em termos de vetores unitários (parte c).
Passo 4
Se \vec{a} e \vec{b} vierem dados por módulo e ângulo (forma polar), converta para componentes antes de subtrair.
Se \vec{a} tem módulo A e ângulo \alpha medido a partir de \hat{\mathbf{i}} e \vec{b} tem módulo B e ângulo \beta, então:
Justificativa didática: \cos dá a projeção horizontal (adjacente no triângulo), \sin dá a projeção vertical (oposto). Essas são fórmulas padrão de conversão polar → cartesiano.
Passo 5
Aplicando a subtração às formas polares convertidas, obtemos (forma em vetores unitários usando módulos/ângulos):
Podemos simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas. Desenvolvendo os quadrados e usando \cos^{2}+\sin^{2}=1 e \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta), obtém-se a forma elegante
Esta é uma forma muito útil (analogia com lei dos cossenos).
Passo 7
Cálculo do ângulo \theta de \vec{a}-\vec{b} em relação a \hat{\mathbf{i}}.
Se \Delta_x e \Delta_y são as componentes do vetor resultante, então o ângulo é dado por
Explicação prática: \operatorname{atan2}(y,x) é a função arco-tangente que leva em conta o sinal de x e y para colocar o ângulo no quadrante correto; evita erros de 180^\circ. Se você só usar a forma \theta=\arctan\!\bigl(\tfrac{\Delta_y}{\Delta_x}\bigr), precisa cuidar manualmente do sinal de \Delta_x e do quadrante.
Exemplo numérico ilustrativo (sem usar calculadora, com valores que dão razões trigonométricas simples).
Escolha A=5, \alpha=30^\circ e B=3, \beta=120^\circ. Primeiro convertemos: