Um forno industrial é feito com tijolos refratários de espessura 0,25 \mathrm{~m} e condutividade térmica 1,0 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{\circ} \mathrm{C}. A superficie externa está isolada com material de condutividade térmica 0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}. Determine a espessura da camada isolante a fim de limitar a perda de calor pela parede do forno a q=1000 \mathrm{Wm}^{2}, quando a superficie interna estiver a 1030^{\circ} \mathrm{C} e a superficie externa a 30^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a espessura da camada isolante de modo que a perda de calor pela parede seja limitada a q = 1000\\ \mathrm{W\,m^{-2}}. Informações dadas:
\text{espessura do tijolo: } L_1 = 0,25\\ \mathrm{m}
\text{condutividade do tijolo: } k_1 = 1,0\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,^{\circ}C^{-1}}
\text{condutividade do isolante: } k_2 = 0,05\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,^{\circ}C^{-1}}
\text{temperatura interna (superfície do forno): } T_1 = 1030^{\circ}\mathrm{C}í
\text{temperatura externa (fora da isolação): } T_3 = 30^{\circ}\mathrm{C}çã
O que queremos: encontrar a espessura L_2 do isolante que satisfaz a condição q = 1000\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.

Passo 2

Modelo físico e fórmula básica (explicação didática).
Quando há condução estacionária unidimensional através de uma camada homogênea e plana, a lei de Fourier reduz-se a uma relação simples entre fluxo de calor por unidade de área q, diferença de temperatura e espessura:
q = \frac{k\,(T_a - T_b)}{L}.
Aqui:
  • q é o fluxo de calor por área (unidade \mathrm{W\,m^{-2}});
  • k é a condutividade térmica do material ( \mathrm{W\,m^{-1}\,^{\circ}C^{-1}});
  • T_a e T_b são as temperaturas nas faces da camada ( ^{\circ}\mathrm{C});
  • L é a espessura da camada (m).
    Essa fórmula vem de integrar \;q = -k\,\dfrac{dT}{dx}\; sob a suposição de k constante e perfil de temperatura linear na camada.

Passo 3

Pilhas de camadas em série — resistência térmica (aula curta).
Para duas camadas em série (tijolo + isolante) a queda total de temperatura (T_1-T_3) está distribuída nas duas camadas. É útil definir a resistência térmica de cada camada como
R_i = \frac{L_i}{k_i}\quad\text{(unidade: }\mathrm{m^{2}\,^{\circ}C\,W^{-1}}\text{)}.
O fluxo q é o mesmo através de ambas as camadas em série e então obedece
q = \frac{T_1 - T_3}{R_1 + R_2}.
Este resultado é análogo a resistências elétricas em série: as R somam e a “queda de temperatura” é análoga à queda de tensão.

Passo 4

Montagem da equação para encontrar L_2 (álgebra passo a passo).
Começamos com a expressão em série:
q = \frac{T_1 - T_3}{\dfrac{L_1}{k_1} + \dfrac{L_2}{k_2}}.
Queremos isolar L_2. Invertendo ambos os lados e rearranjando:
\frac{1}{q} = \frac{\dfrac{L_1}{k_1} + \dfrac{L_2}{k_2}}{T_1 - T_3}
\dfrac{L_1}{k_1} + \dfrac{L_2}{k_2} = \frac{T_1 - T_3}{q}
\dfrac{L_2}{k_2} = \frac{T_1 - T_3}{q} - \frac{L_1}{k_1}
L_2 = k_2\!\left(\frac{T_1 - T_3}{q} - \frac{L_1}{k_1}\right).
Essa é a fórmula final para L_2. Note que \dfrac{T_1-T_3}{q} tem unidade de \mathrm{m^{2}\,^{\circ}C\,W^{-1}} (mesma unidade de resistência), por isso a expressão é homogênea.

Passo 5

Substituição numérica (contas detalhadas e interpretação).
Calcule primeiro a diferença de temperaturas:
T_1 - T_3 = 1030 - 30 = 1000\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Calcule \dfrac{T_1-T_3}{q}:
\frac{T_1 - T_3}{q} = \frac{1000}{1000} = 1,0\\ \mathrm{m^{2}\,^{\circ}C\,W^{-1}}.
Calcule a resistência da camada de tijolo:
\frac{L_1}{k_1} = \frac{0,25}{1,0} = 0,25\\ \mathrm{m^{2}\,^{\circ}C\,W^{-1}}.
Agora use a fórmula para L_2:
L_2 = k_2\!\left(1,0 - 0,25\right) = 0,05 \times 0,75 = 0,0375\\ \mathrm{m}.
Em centímetros, para termos intuição, isso é 0,0375\\ \mathrm{m} = 3,75\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Verificação rápida e comentário final (motivacional).
A espessura encontrada é positiva e razoável: a isolação fina (algumas cm) já reduz bastante a perda de calor porque sua condutividade é muito baixa ( k_2 pequeno). Se a resistência do tijolo fosse maior (camada mais grossa ou k_1 menor) a isolação necessária diminuiria; se quiséssemos um q menor, L_2 teria que aumentar. Bom trabalho — já estamos chegando no resultado final!

Resposta

L_2 = 0,0375\\ \mathrm{m}

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