Um forno industrial é feito com tijolos refratários de espessura
e condutividade térmica
. A superficie externa está isolada com material de condutividade térmica
. Determine a espessura da camada isolante a fim de limitar a perda de calor pela parede do forno a
, quando a superficie interna estiver a
e a superficie externa a
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a espessura da camada isolante de modo que a perda de calor pela parede seja limitada a
. Informações dadas:
O que queremos: encontrar a espessura
do isolante que satisfaz a condição
.
Passo 2
Modelo físico e fórmula básica (explicação didática).
Quando há condução estacionária unidimensional através de uma camada homogênea e plana, a lei de Fourier reduz-se a uma relação simples entre fluxo de calor por unidade de área , diferença de temperatura e espessura:
Quando há condução estacionária unidimensional através de uma camada homogênea e plana, a lei de Fourier reduz-se a uma relação simples entre fluxo de calor por unidade de área
Aqui:
-
é o fluxo de calor por área (unidade ); -
é a condutividade térmica do material ( ); -
e são as temperaturas nas faces da camada ( ); -
é a espessura da camada (m).
Essa fórmula vem de integrarsob a suposição de constante e perfil de temperatura linear na camada.
Passo 3
Pilhas de camadas em série — resistência térmica (aula curta).
Para duas camadas em série (tijolo + isolante) a queda total de temperatura está distribuída nas duas camadas. É útil definir a resistência térmica de cada camada como
Para duas camadas em série (tijolo + isolante) a queda total de temperatura
O fluxo
é o mesmo através de ambas as camadas em série e então obedece
Este resultado é análogo a resistências elétricas em série: as
somam e a “queda de temperatura” é análoga à queda de tensão.
Passo 4
Montagem da equação para encontrar
(álgebra passo a passo).
Começamos com a expressão em série:
Começamos com a expressão em série:
Queremos isolar
. Invertendo ambos os lados e rearranjando:
Essa é a fórmula final para
. Note que
tem unidade de
(mesma unidade de resistência), por isso a expressão é homogênea.
Passo 5
Substituição numérica (contas detalhadas e interpretação).
Calcule primeiro a diferença de temperaturas:
Calcule primeiro a diferença de temperaturas:
Calcule
:
Calcule a resistência da camada de tijolo:
Agora use a fórmula para
:
Em centímetros, para termos intuição, isso é
.
Passo 6
Verificação rápida e comentário final (motivacional).
A espessura encontrada é positiva e razoável: a isolação fina (algumas cm) já reduz bastante a perda de calor porque sua condutividade é muito baixa ( pequeno). Se a resistência do tijolo fosse maior (camada mais grossa ou
menor) a isolação necessária diminuiria; se quiséssemos um
menor,
teria que aumentar. Bom trabalho — já estamos chegando no resultado final!
A espessura encontrada é positiva e razoável: a isolação fina (algumas cm) já reduz bastante a perda de calor porque sua condutividade é muito baixa (