A parede de um forno industrial é feita de tijolos refratários de espessura de 0,20 \mathrm{~m} e condutividade térmica 1,0 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{\circ} \mathrm{C}, recoberta na superficie externa por uma camada de material isolante de espessura 0,03 \mathrm{~m} e condutividade térmica 0,05 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{\circ} \mathrm{C}. Se a superficie interna da parede está na temperatura de 830^{\circ} \mathrm{C} e a superficie externa de 30^{\circ} \mathrm{C}. Determine o fluxo de calor e a taxa de fluxo.

Passo 1

O enunciado dá uma parede composta por duas camadas planas em série e pede o fluxo de calor e a taxa de fluxo. Dados fornecidos (todos usados tal como estão no enunciado):
\begin{aligned} &\text{Espessura do tijolo: } &&L_1 = 0{,}20\\ \mathrm{m} \\\ &\text{Condutividade do tijolo: } &&k_1 = 1{,}0\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,^\circ C^{-1}} \\\ &\text{Espessura do isolante: } &&L_2 = 0{,}03\\ \mathrm{m} \\\ &\text{Condutividade do isolante: } &&k_2 = 0{,}05\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,^\circ C^{-1}} \\\ &\text{Temperatura interna: } &&T_i = 830^\circ\mathrm{C} \\\ &\text{Temperatura externa: } &&T_e = 30^\circ\mathrm{C} \end{aligned}
O enunciado pede: (1) o fluxo de calor e (2) a taxa de fluxo. Não foi dada a área da parede; portanto, vou calcular o fluxo por unidade de área (densidade de fluxo de calor), que é o resultado padrão quando a área não é fornecida, e também dar a relação para obter a potência total se a área for conhecida.

Passo 2

Modelo físico e fórmula básica (explicação e aula rápida):
  • Estamos no regime estacionário unidimensional (temperaturas constantes no tempo e variação só na direção da espessura). Nesse caso o fluxo de calor por condução em uma placa plana é dado pela Lei de Fourier na forma de taxa por unidade de área (densidade de fluxo):
\dot{q}=\frac{\Delta T}{R''_{\text{total}}}
onde:
  • \dot{q} é a densidade de fluxo de calor (em \mathrm{W\,m^{-2}}),
  • \Delta T = T_i - T_e é a diferença de temperatura entre as superfícies (em ^\circ\mathrm{C} ou K),
  • R''_{\text{total}} é a resistência térmica total por unidade de área (em \mathrm{m^{2}\,K\,W^{-1}}).
  • Para uma camada homogênea plana, a resistência térmica por unidade de área é
R''=\frac{L}{k},
onde L é a espessura (m) e k é a condutividade térmica ( \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}). Explico: R'' mede o quanto a camada “resiste” à passagem de calor por metro quadrado; quanto maior L ou menor k, maior a resistência.
Como as camadas estão em série, somamos as resistências por unidade de área:
R''_{\text{total}}=R''_1+R''_2=\frac{L_1}{k_1}+\frac{L_2}{k_2}.

Passo 3

Calcule a diferença de temperatura:
\Delta T = T_i - T_e = 830 - 30 = 800\\ ^\circ\mathrm{C}.
(Temperatura em graus Celsius e Kelvin tem a mesma diferença numérica, portanto podemos usar diretamente.)

Passo 4

Calcule as resistências por unidade de área de cada camada (aqui explico os números passo a passo):
  • Para o tijolo (camada 1):
R''_1=\frac{L_1}{k_1}=\frac{0{,}20}{1{,}0}=0{,}20\\ \mathrm{m^{2}\,K\,W^{-1}}.
  • Para o isolante (camada 2):
R''_2=\frac{L_2}{k_2}=\frac{0{,}03}{0{,}05}=0{,}60\\ \mathrm{m^{2}\,K\,W^{-1}}.
Mostro o cálculo do isolante: 0{,}03/0{,}05 = 3/5 \times 10^{-2+2} = 0{,}6.

Passo 5

Some as resistências para obter a resistência total por unidade de área:
R''_{\text{total}}=R''_1+R''_2=0{,}20+0{,}60=0{,}80\\ \mathrm{m^{2}\,K\,W^{-1}}.

Passo 6

Use a fórmula da Passo 2 para encontrar a densidade de fluxo de calor:
\dot{q}=\frac{\Delta T}{R''_{\text{total}}}=\frac{800}{0{,}80}=1000\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
Interpretação: isso significa que através de cada metro quadrado da parede está passando 1000\\ \mathrm{W} de potência térmica do interior quente para o exterior frio.

Passo 7

Como obter a taxa de fluxo total (potência) para uma área conhecida A? A relação é simples:
\dot{Q}=\dot{q}\,A.
Como a área não foi informada no enunciado, não podemos dar um valor numérico absoluto para \dot{Q}. Para um exemplo útil: se A=1\\ \mathrm{m^{2}}, então
\dot{Q}=\dot{q}\times 1 = 1000\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Comentário físico-final e checagem: a maior resistência vem do isolante ( R''_2=0{,}60) — ou seja, o isolante faz o trabalho principal de reduzir o fluxo; se o isolante fosse mais fino ou com maior k, o fluxo aumentaria. Resultado é numérico e simples de checar via soma de resistências.

Resposta

Fluxo de calor (densidade de fluxo) por unidade de área: 1000\\ \mathrm{W\,m^{-2}}
Taxa de fluxo de calor (potência) para A=1\\ \mathrm{m^{2}}: 1000\\ \mathrm{W}

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