Considere uma parede plana composta por duas placas de materiais diferentes, A e B. A placa A está em contato com o fluido quente a \mathrm{Ta}=250^{\circ} \mathrm{C}, no qual o coeficiente de transferência de calor é ha =15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{20} \mathrm{C}. A placa B está em contato com um fluido a \mathrm{Tb}=50^{\circ} \mathrm{C}, cujo coeficiente de transferência de calor é hb =25 \mathrm{Wm}^{2 \circ} \mathrm{C}. A placa La tem espessura 2 cm e \mathrm{Ka}=0,1 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{\circ} \mathrm{C}, e a placa B tem \mathrm{Lb}=4 \mathrm{~cm} e \mathrm{Kb}=0,05 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{\circ} \mathrm{C}. Determine o fluxo de calor, a taxa de fluxo e a temperatura das placas.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o fluxo de calor, a taxa de fluxo e as temperaturas nas placas de uma parede composta por duas camadas em série, estando cada face em contato com um fluido. Dados fornecidos (vou listar tudo com símbolos para ficarmos organizados):\n
  • Temperatura do fluido quente: \mathrm{T_a}=250^\circ\mathrm{C}.\n
  • Coeficiente de convecção na face quente: \mathrm{h_a}=15\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,^\circ C^{-1}}.\n
  • Temperatura do fluido frio: \mathrm{T_b}=50^\circ\mathrm{C}.\n
  • Coeficiente de convecção na face fria: \mathrm{h_b}=25\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,^\circ C^{-1}}.\n
  • Placa A: espessura \mathrm{L_a}=2\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m}, condutividade térmica \mathrm{K_a}=0{,}1\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,^\circ C^{-1}}.\n
  • Placa B: espessura \mathrm{L_b}=4\\ \mathrm{cm}=0{,}04\\ \mathrm{m}, condutividade térmica \mathrm{K_b}=0{,}05\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,^\circ C^{-1}}.\n
    Observações importantes (dados implícitos que usamos): assumimos regime permanente, transferência unidimensional (1D), sem geração de calor interno e área de seção constante. Como o enunciado não dá a área, vou trabalhar por unidade de área ( A=1\\ \mathrm{m}^2); se você tiver outra área, multiplica a taxa \dot{Q} por A.

Passo 2

Ideia geral do método (aqui explico a estratégia sem ainda calcular):\n
  • Em regime permanente a resistência térmica total entre os fluidos é a soma das resistências convectivas nas faces e das resistências condutivas nas placas (sistema em série). A analogia elétrica é muito útil: diferença de temperatura corresponde à “tensão”, calor corresponde à “corrente” e resistência térmica corresponde à resistência elétrica.\n
  • Fórmula básica que usaremos para a taxa de transferência de calor em série é\n \dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_\text{total}}\n
onde \Delta T=\mathrm{T_a}-\mathrm{T_b} e R_\text{total} é a soma das resistências convectivas e condutivas por unidade de área (já que tomamos A=1\\ \mathrm{m}^2).

Passo 3

Aula rápida sobre resistências térmicas (o que cada fórmula significa):\n
  • Resistência convectiva por unidade de área: R_{\text{conv}}=\frac{1}{hA}.\nAqui h é o coeficiente de convecção ( \mathrm{W\,m^{-2}\,^\circ C^{-1}}), A é a área de contato ( \mathrm{m}^2). Para A=1\\ \mathrm{m}^2 fica R_{\text{conv}}=1/h em ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.\n
  • Resistência condutiva de uma lâmina por unidade de área: R_{\text{cond}}=\frac{L}{kA}.\nAqui L é a espessura ( \mathrm{m}), k é a condutividade térmica ( \mathrm{W\,m^{-1}\,^\circ C^{-1}}). Para A=1\\ \mathrm{m}^2 temos R_{\text{cond}}=L/k.\n
  • Quando várias resistências estão em série, somamos: R_\text{total}=R_{\text{conv,a}}+R_{\text{cond,a}}+R_{\text{cond,b}}+R_{\text{conv,b}}.

Passo 4

Calcular cada resistência numérica (usando A=1\\ \mathrm{m}^2):\n
  • Resistência convectiva na face quente:\n R_{\text{conv,a}}=\frac{1}{h_a}=\frac{1}{15}=\frac{1}{15}\\ \mathrm{^\circ C/W}\approx0{,}0666667\\ \mathrm{^\circ C/W}.\n
  • Resistência condutiva da placa A:\n R_{\text{cond,a}}=\frac{L_a}{K_a}=\frac{0{,}02}{0{,}1}=0{,}2\\ \mathrm{^\circ C/W}.\n
  • Resistência condutiva da placa B:\n R_{\text{cond,b}}=\frac{L_b}{K_b}=\frac{0{,}04}{0{,}05}=0{,}8\\ \mathrm{^\circ C/W}.\n
  • Resistência convectiva na face fria:\n R_{\text{conv,b}}=\frac{1}{h_b}=\frac{1}{25}=0{,}04\\ \mathrm{^\circ C/W}.

Passo 5

Somar resistências para obter R_\text{total} e calcular a taxa de calor:\n
  • Soma:\n R_{\text{total}}=0{,}0666667+0{,}2+0{,}8+0{,}04=1{,}1066667\\ \mathrm{^\circ C/W}.\n
  • Diferença de temperatura disponível:\n \Delta T=\mathrm{T_a}-\mathrm{T_b}=250-50=200\\ \mathrm{^\circ C}.\n
  • Taxa de calor (por unidade de área, com A=1\\ \mathrm{m}^2):\n \dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{200}{1{,}1066667}.\nCalculei exatamente como fração: R_{\text{total}}=1+\frac{1}{15}+\frac{1}{25}=\frac{83}{75}, então\n \dot{Q}=200\cdot\frac{75}{83}=\frac{15000}{83}\\ \mathrm{W}\approx180{,}7229\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Agora vamos encontrar as quedas de temperatura em cada resistência (para obter as temperaturas nas superfícies e na interface). A ideia: a queda em cada resistência é \Delta T_i=\dot{Q}\,R_i. Usamos \dot{Q}=\dfrac{15000}{83}\\ \mathrm{W}.\n
  • Queda na convecção quente:\n \Delta T_{\text{conv,a}}=\dot{Q}R_{\text{conv,a}}=\frac{15000}{83}\cdot\frac{1}{15}=\frac{15000}{1245}=\frac{500}{41}\approx12{,}04819^\circ\mathrm{C}.\n
  • Temperatura da superfície quente (face externa da placa A), \mathrm{T_{sA}}:\n \mathrm{T_{sA}}=\mathrm{T_a}-\Delta T_{\text{conv,a}}=250-12{,}04819\approx237{,}9518^\circ\mathrm{C}.\n
  • Queda através da placa A (condutiva):\n \Delta T_{\text{cond,a}}=\dot{Q}R_{\text{cond,a}}=\frac{15000}{83}\cdot0{,}2=\frac{3000}{83}\approx36{,}14458^\circ\mathrm{C}.\n
  • Temperatura na interface entre A e B, \mathrm{T_i}:\n \mathrm{T_i}=\mathrm{T_{sA}}-\Delta T_{\text{cond,a}}\approx237{,}9518-36{,}1446\approx201{,}8072^\circ\mathrm{C}.\n
  • Queda através da placa B (condutiva):\n \Delta T_{\text{cond,b}}=\dot{Q}R_{\text{cond,b}}=\frac{15000}{83}\cdot0{,}8=\frac{12000}{83}\approx144{,}5783^\circ\mathrm{C}.\n
  • Temperatura da superfície fria (face externa da placa B), \mathrm{T_{sB}}:\n \mathrm{T_{sB}}=\mathrm{T_i}-\Delta T_{\text{cond,b}}\approx201{,}8072-144{,}5783\approx57{,}2289^\circ\mathrm{C}.\n
  • Queda na convecção fria:\n \Delta T_{\text{conv,b}}=\dot{Q}R_{\text{conv,b}}=\frac{15000}{83}\cdot0{,}04=\frac{600}{83}\approx7{,}2289^\circ\mathrm{C},\nconfirmando que \mathrm{T_{sB}}-\Delta T_{\text{conv,b}}=50^\circ\mathrm{C} (isto é, chega em \mathrm{T_b} corretamente).

Passo 7

Resumo numérico (mantendo casas decimais suficientes) e observações finais pedagógicas:\n
  • Taxa de calor que atravessa a parede por unidade de área (ou seja, fluxo por 1\\ \mathrm{m}^2) é \dot{Q}= \dfrac{15000}{83}\\ \mathrm{W}\approx180{,}7229\\ \mathrm{W}.\n
  • As temperaturas nas superfícies/ interface são, em ordem do fluido quente para o frio:\n - \mathrm{T_{sA}}\approx237{,}9518^\circ\mathrm{C} (superfície quente da placa A);\n - \mathrm{T_i}\approx201{,}8072^\circ\mathrm{C} (interface entre A e B);\n - \mathrm{T_{sB}}\approx57{,}2289^\circ\mathrm{C} (superfície fria da placa B).\n\nSe você tiver uma área diferente de 1\\ \mathrm{m}^2, a taxa total de calor é \dot{Q}_\text{total}=\dot{q}\cdot A, onde \dot{q} é o valor por unidade de área que eu calculei.

Resposta

\dot{q}=\dfrac{15000}{83}\\ \mathrm{W/m^2}\approx180{,}7229\\ \mathrm{W/m^2}\n
\dot{Q}=\dfrac{15000}{83}\\ \mathrm{W} (para A=1\\ \mathrm{m^2}; para área geral \dot{Q}=\dot{q}\,A)\n
\mathrm{T_{sA}}\approx237{,}9518^\circ\mathrm{C},\\ \mathrm{T_i}\approx201{,}8072^\circ\mathrm{C},\\ \mathrm{T_{sB}}\approx57{,}2289^\circ\mathrm{C}

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