Em uma forte tempestade, 1 cm de chuva cai sobre um telhado horizontal plano em 30 minutos. Se a área do telhado é de 100 \mathrm{~m}^{2} e a velocidade terminal da chuva é de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual é o módulo da força média exercida pela chuva sobre o telhado durante a tempestade?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A chuva acumulou 0,01\\ \mathrm{m} (1 cm) sobre o telhado em 30\\ \mathrm{min}=1800\\ \mathrm{s}.
    • Área do telhado: A=100\\ \mathrm{m}^2.
    • Velocidade terminal das gotas (velocidade com que atingem o telhado): v=5\\ \mathrm{m/s}.
    • Densidade da água (valor padrão que usamos): \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • O que o problema pede:
    • Calcular o módulo da força média exercida pela chuva sobre o telhado durante a tempestade.

Passo 2

Entender a ideia física (explicação didática).
Quando gotas de chuva caem e são paradas pelo telhado, sua quantidade de movimento (momentum) vertical é reduzida até zero. A força média sobre o telhado é a taxa de variação do momento total por unidade de tempo (segunda lei de Newton na forma de impulso): a força média é igual ao fluxo de momento que chega e é anulado. Se uma massa de água m chega com velocidade v e pára, a variação de momento é \Delta p = m v. Se \dot{m} é a massa que chega por unidade de tempo (taxa de massa), a força média é
F = \dot{m}\,v.
Aqui estamos assumindo que as gotas colidem e ficam praticamente paradas verticalmente (sem grande ricochete); se ricocheteassem perfeitamente, a força seria maior (até 2\dot{m}v), mas o enunciado não diz isso, então usamos a hipótese mais comum: as gotas param verticalmente.

Passo 3

Expressar \dot{m} (taxa de massa) em termos dos dados disponíveis.
A taxa de massa é a densidade vezes a taxa de volume que chega ao telhado:
\dot{m}=\rho\,\dot{V}.
A taxa de volume \dot{V} é a área multiplicada pela velocidade efetiva de “acúmulo” da chuva em altura (profundidade por unidade de tempo). A chuva de 0,01\\ \mathrm{m} em 1800\\ \mathrm{s} corresponde a uma taxa de profundidade
\dot{h}=\frac{0,01}{1800}\\ \mathrm{m/s}.
Portanto
\dot{V}=A\,\dot{h}=A\cdot\frac{0,01}{1800}.
Substituindo,
\dot{m}=\rho\,A\cdot\frac{0,01}{1800}.

Passo 4

Calcular numericamente a taxa de profundidade \dot{h}.
\dot{h}=\frac{0,01}{1800}=5{,}555\ldots\times10^{-6}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a taxa de volume \dot{V}.
\dot{V}=A\,\dot{h}=100\cdot 5{,}555\ldots\times10^{-6}=5{,}555\ldots\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 6

Calcular a taxa de massa \dot{m}.
\dot{m}=\rho\,\dot{V}=1000\cdot 5{,}555\ldots\times10^{-4}=0{,}555555\ldots\\ \mathrm{kg/s}.
(Em notação decimal: \dot{m}\approx0{,}55556\\ \mathrm{kg/s}.)

Passo 7

Calcular a força média usando F=\dot{m}\,v.
F=\dot{m}\,v \approx 0{,}555555\ldots\cdot 5 = 2{,}777777\ldots\\ \mathrm{N}.
Arredondando com duas casas decimais:
F\approx 2{,}78\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Verificação de unidades e comentário prático.
  • Unidades: \dot{m} em \mathrm{kg/s} vezes v em \mathrm{m/s} dá newtons (\mathrm{kg\,m/s^2}), consistente.
  • Comentário físico: esse valor é pequeno porque, embora a área seja grande, a taxa de massa é pequena (chuva de 1 cm em 30 min é intensa localmente mas ainda assim pouca massa por segundo). Se as gotas ricocheteassem verticalmente (colisão elástica), a força poderia ser até o dobro; se houvesse escoamento lateral imediato, a força vertical seria a mesma (já que o componente vertical do momento é anulado).

Passo 9

Pequeno incentivo e dica de prova.
Esse tipo de questão é padrão: transforme profundidade de chuva em taxa de volume, multiplica por densidade para obter taxa de massa e depois multiplica por velocidade para obter força. Se decorrar essa sequência você resolve rápido na prova. Vai dar tudo certo — respira e avança!

Resposta

2{,}78\\ \mathrm{N}

Exercícios relacionados