Embora não tenham massa, os fótons - deslocando-se na velocidade da luz - têm momento. Especialistas em viagem espacial pensaram em explorar esse fato construindo velas solares grandes folhas de material que funcionariam pela reflexão de fótons. Como o momento de um fóton seria revertido, um impulso seria exercido sobre ele pela vela solar, e - segundo a terceira lei de Newton - um impulso seria também exercido sobre a vela, fornecendo uma força. No espaço próximo à Terra, cerca de 3,84 \cdot 10^{21} fótons são incidentes por metro quadrado por segundo. Em média, o momento de cada fóton é 1,3 \cdot 10^{-27} \mathrm{~kg} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Para uma espaçonave de 1.000 kg partindo do repouso e presa a uma vela quadrada de 20 m de comprimento, com que velocidade a nave poderia estar se movendo após (a) 1 hora? (b) Uma semana? (c) Um mês ( 30 dias)? (d) Quanto tempo, em meses, a nave levaria para atingir uma velocidade de 8.000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, ou seja, aproximadamente a velocidade do ônibus espacial em órbita?

Passo 1

O enunciado pede a velocidade que uma espaçonave alcançaria ao ser empurrada por uma vela solar refletora, nos seguintes casos: (a) após 1 hora; (b) após 1 semana; (c) após 30 dias; (d) quanto tempo (em meses) para atingir 8\,000\\ \mathrm{m/s}. Dados fornecidos:
  • fluxo de fótons incidente: \Phi = 3{,}84\cdot10^{21}\\ \text{fótons}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}ó (peguei este valor do enunciado);
  • momento médio de cada fóton: p_{\gamma}=1{,}3\cdot10^{-27}\\ \mathrm{kg\,m/s} (peguei este valor do enunciado);
  • vela quadrada de lado 20\\ \mathrm{m} (logo área A a calcular);
  • massa total da espaçonave + vela: m=1000\\ \mathrm{kg} (peguei este valor do enunciado);
  • assumir reflexão perfeita normal à vela (fótons perpendiculares à vela) e movimento não-relativístico (velocidades pequenas comparadas a c).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar — explicação didática:
  • Momento linear de um fóton: o enunciado já dá p_{\gamma}. Quando um fóton é refletido perfeitamente por uma superfície (incidência normal), sua velocidade reversa implica que seu momento muda de +p_{\gamma} para -p_{\gamma}, ou seja, a variação de momento (impulso) dada à vela por fóton é
\Delta p = 2p_{\gamma}.
Isso porque mudança de momento é momento final menos momento inicial: -p_{\gamma}-p_{\gamma}=-2p_{\gamma} em módulo 2p_{\gamma}.
  • Força média é taxa de variação do momento por unidade de tempo; se chegam N fótons por segundo e cada um transfere \Delta p, então a força é
F = N\,\Delta p.
  • O número de fótons por segundo que atingem a vela é o produto do fluxo por área:
N = \Phi \, A.
  • A aceleração resultante da força sobre a nave é, pela segunda lei de Newton,
a=\frac{F}{m}.
  • Com aceleração constante a partir do repouso, a velocidade em tempo t é
v(t)=a\,t.
Todas as variáveis acima serão calculadas usando os números dados.

Passo 3

Calcular a área da vela:
A = (20\\ \mathrm{m})^2 = 400\\ \mathrm{m}^2.
Calcular o número de fótons que incidem por segundo sobre a vela (uso \Phi do enunciado):
N = \Phi\,A = \bigl(3{,}84\cdot10^{21}\bigr)\cdot 400.
Fazendo a multiplicação passo a passo:
400 = 4{,}00\cdot10^{2},\quad 3{,}84\cdot4{,}00 = 15{,}36,
logo
N = 15{,}36\cdot10^{23} = 1{,}536\cdot10^{24}\\ \text{fótons/s}.ó

Passo 4

Calcular a variação de momento por fóton (reflexão perfeita):
\Delta p = 2p_{\gamma} = 2\cdot\bigl(1{,}3\cdot10^{-27}\bigr) = 2{,}6\cdot10^{-27}\\ \mathrm{kg\,m/s}.
Agora a força total sobre a vela:
F = N\,\Delta p = \bigl(1{,}536\cdot10^{24}\bigr)\cdot\bigl(2{,}6\cdot10^{-27}\bigr).
Multiplicando coeficientes:
1{,}536\cdot2{,}6 = 3{,}9936.
Somando expoentes:
10^{24}\cdot10^{-27}=10^{-3}.
Portanto
F = 3{,}9936\cdot10^{-3}\\ \mathrm{N}\approx 3{,}9936\times10^{-3}\\ \mathrm{N}.
Interpretação: a força é pequena, da ordem de milésimos de newton — é por isso que velas solares aceleram devagar, mas continuamente.

Passo 5

Calcular a aceleração usando a=F/m:
a = \frac{3{,}9936\cdot10^{-3}}{1000} = 3{,}9936\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Explicando: dividir por 1000 (massa em kg) desloca três ordens de magnitude, passando de 10^{-3} para 10^{-6}. Essa é a aceleração constante presumida.

Passo 6

Velocidade após 1 hora. Converter 1 hora em segundos:
1\\ \text{hora}=3600\\ \mathrm{s}.
Usar v=a t:
v_{1h} = 3{,}9936\cdot10^{-6}\cdot 3600.
Fazendo a conta:
3{,}9936\cdot3600 = 3{,}9936\cdot3{,}6\cdot10^{3} = (3{,}9936\cdot3{,}6)\cdot10^{3}.
3{,}9936\cdot3{,}6 = 14{,}377\;(\text{aprox.}).
Então
v_{1h} = 14{,}377\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m/s} = 0{,}014377\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente,
v_{1h}\approx 0{,}0144\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Velocidade após 1 semana. Converter 1 semana em segundos:
1\\ \text{semana}=7\\ \text{dias}=7\cdot86400\\ \mathrm{s}=604800\\ \mathrm{s}.
Calcular
v_{\text{sem}} = a\cdot 604800 = 3{,}9936\cdot10^{-6}\cdot 604800.
Fazendo a multiplicação:
3{,}9936\cdot604800 = 3{,}9936\cdot6{,}048\cdot10^{5} = (3{,}9936\cdot6{,}048)\cdot10^{5}.
3{,}9936\cdot6{,}048 \approx 24{,}1533.
Portanto
v_{\text{sem}} \approx 24{,}1533\cdot10^{-1}\\ \mathrm{m/s} = 2{,}41533\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando,
v_{\text{sem}}\approx 2{,}42\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Velocidade após 30 dias. Converter 30 dias em segundos:
30\\ \text{dias}=30\cdot86400\\ \mathrm{s}=2\,592\,000\\ \mathrm{s}.
Calcular
v_{30d} = a\cdot 2{,}592{,}000 = 3{,}9936\cdot10^{-6}\cdot 2{,}592{,}000.
Fazendo a multiplicação:
3{,}9936\cdot2{,}592{,}000 = (3{,}9936\cdot2{,}592)\cdot10^{3} \approx 10{,}3514112\cdot10^{0}.
Logo
v_{30d} \approx 10{,}3514\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando,
v_{30d}\approx 10{,}35\\ \mathrm{m/s}.

Passo 9

Tempo necessário para atingir v=8\,000\\ \mathrm{m/s}. Usamos t=v/a:
t = \frac{8000}{3{,}9936\cdot10^{-6}}\\ \mathrm{s}.
Calculemos:
\frac{8000}{3{,}9936\cdot10^{-6}} = \frac{8{,}000}{3{,}9936}\cdot10^{6}.
\frac{8{,}000}{3{,}9936}\approx 2{,}0032\cdot10^{0},
portanto
t \approx 2{,}0032\cdot10^{9}\\ \mathrm{s}.
Converter segundos em meses (usar 1 mês \approx 30 dias =2{,}592{,}000\\ \mathrm{s}):
\text{meses} = \frac{t}{2{,}592{,}000} = \frac{2{,}0032\cdot10^{9}}{2{,}592{,}000}\approx 772{,}93\\ \text{meses}.
Arredondando,
\text{meses}\approx 773\\ \text{meses}.
Para intuir em anos: 773 meses \approx 64{,}4 anos (apenas comparação, sem substituir a resposta pedida).

Passo 10

Resumo e observações finais (motivação amiga): a aceleração contínua por fótons é muito pequena ( \sim 4\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m/s^{2}}), por isso em curto prazo a velocidade cresce pouco (centésimos de \mathrm{m/s} em uma hora), mas com tempo muito longo pode chegar a algumas dezenas ou milhares de \mathrm{m/s}. As contas acima assumem reflexão perfeita, incidência normal, e ausência de outras forças (arrasto, gravidade local, orientação da vela), o que simplifica o problema para o contexto de prova. Força, aceleração e as fórmulas usadas foram explicitadas passo a passo para que você consiga reproduzir na hora da prova — vai dar certo, respira fundo e confia no método.

Resposta

(a) 0{,}0144\\ \mathrm{m/s}
(b) 2{,}42\\ \mathrm{m/s}
(c) 10{,}35\\ \mathrm{m/s}
(d) 773\\ \text{meses}

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