Embora não tenham massa, os fótons - deslocando-se na velocidade da luz - têm momento. Especialistas em viagem espacial pensaram em explorar esse fato construindo velas solares grandes folhas de material que funcionariam pela reflexão de fótons. Como o momento de um fóton seria revertido, um impulso seria exercido sobre ele pela vela solar, e - segundo a terceira lei de Newton - um impulso seria também exercido sobre a vela, fornecendo uma força. No espaço próximo à Terra, cerca de
fótons são incidentes por metro quadrado por segundo. Em média, o momento de cada fóton é
. Para uma espaçonave de 1.000 kg partindo do repouso e presa a uma vela quadrada de 20 m de comprimento, com que velocidade a nave poderia estar se movendo após (a) 1 hora? (b) Uma semana? (c) Um mês ( 30 dias)? (d) Quanto tempo, em meses, a nave levaria para atingir uma velocidade de
, ou seja, aproximadamente a velocidade do ônibus espacial em órbita?
Passo 1
O enunciado pede a velocidade que uma espaçonave alcançaria ao ser empurrada por uma vela solar refletora, nos seguintes casos: (a) após 1 hora; (b) após 1 semana; (c) após 30 dias; (d) quanto tempo (em meses) para atingir
. Dados fornecidos:
- fluxo de fótons incidente:
(peguei este valor do enunciado); - momento médio de cada fóton:
(peguei este valor do enunciado); - vela quadrada de lado
(logo área a calcular); - massa total da espaçonave + vela:
(peguei este valor do enunciado); - assumir reflexão perfeita normal à vela (fótons perpendiculares à vela) e movimento não-relativístico (velocidades pequenas comparadas a
).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar — explicação didática:
- Momento linear de um fóton: o enunciado já dá
. Quando um fóton é refletido perfeitamente por uma superfície (incidência normal), sua velocidade reversa implica que seu momento muda de para , ou seja, a variação de momento (impulso) dada à vela por fóton é
Isso porque mudança de momento é momento final menos momento inicial:
em módulo
.
- Força média é taxa de variação do momento por unidade de tempo; se chegam
fótons por segundo e cada um transfere , então a força é
- O número de fótons por segundo que atingem a vela é o produto do fluxo por área:
- A aceleração resultante da força sobre a nave é, pela segunda lei de Newton,
- Com aceleração constante a partir do repouso, a velocidade em tempo
é
Todas as variáveis acima serão calculadas usando os números dados.
Passo 3
Calcular a área da vela:
Calcular o número de fótons que incidem por segundo sobre a vela (uso
do enunciado):
Fazendo a multiplicação passo a passo:
logo
Passo 4
Calcular a variação de momento por fóton (reflexão perfeita):
Agora a força total sobre a vela:
Multiplicando coeficientes:
Somando expoentes:
Portanto
Interpretação: a força é pequena, da ordem de milésimos de newton — é por isso que velas solares aceleram devagar, mas continuamente.
Passo 5
Calcular a aceleração usando
:
Explicando: dividir por
(massa em kg) desloca três ordens de magnitude, passando de
para
. Essa é a aceleração constante presumida.
Passo 6
Velocidade após
hora. Converter
hora em segundos:
Usar
:
Fazendo a conta:
Então
Arredondando razoavelmente,
Passo 7
Velocidade após
semana. Converter
semana em segundos:
Calcular
Fazendo a multiplicação:
Portanto
Arredondando,
Passo 8
Velocidade após
dias. Converter
dias em segundos:
Calcular
Fazendo a multiplicação:
Logo
Arredondando,
Passo 9
Tempo necessário para atingir
. Usamos
:
Calculemos:
portanto
Converter segundos em meses (usar
mês
dias
):
Arredondando,
Para intuir em anos:
meses
anos (apenas comparação, sem substituir a resposta pedida).
Passo 10
Resumo e observações finais (motivação amiga): a aceleração contínua por fótons é muito pequena (
), por isso em curto prazo a velocidade cresce pouco (centésimos de
em uma hora), mas com tempo muito longo pode chegar a algumas dezenas ou milhares de
. As contas acima assumem reflexão perfeita, incidência normal, e ausência de outras forças (arrasto, gravidade local, orientação da vela), o que simplifica o problema para o contexto de prova. Força, aceleração e as fórmulas usadas foram explicitadas passo a passo para que você consiga reproduzir na hora da prova — vai dar certo, respira fundo e confia no método.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)