Se \frac{a_{1}}{b_{1}}, \frac{a_{2}}{b_{2}}, \frac{a_{2}}{b_{3}}, \cdots, \frac{a_{n}}{b_{n}} pertencem eo intervalo (\alpha, \beta) e b_{1}, b_{2}, b_{3}, \cdots, b_{n} são postivos, prove que.
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(a) \frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}}{b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots+b_{n}} \in(\alpha, \beta).
(b) Nas mesmas condições, se t_{1}, t_{2}, t_{3}, \cdots, t_{n} \in \mathbb{R}_{+}, mostre que:
\frac{t_{1} a_{1}+t_{2} a_{2}+t_{3} a_{3}+\cdots+t_{n} a_{n}}{t_{1} b_{1}+t_{2} b_{2}+t_{3} b_{3}+\cdots+t_{n} b_{n}} \in(\alpha, \beta)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado):
  • Para i=1,2,\dots,n vale \dfrac{a_{i}}{b_{i}}\in(\alpha,\beta).
  • Para i=1,2,\dots,n vale b_{i}>0.
  • No item (b) temos, além disso, t_{1},t_{2},\dots,t_{n}\in\mathbb{R}_{+} (ou seja, t_{i}>0 para todo i).
O que se pede:
  • (a) Mostrar que \dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}}\in(\alpha,\beta).
  • (b) Sob as mesmas hipóteses, com t_{i}>0, mostrar que
\frac{t_{1} a_{1}+t_{2} a_{2}+\cdots+t_{n} a_{n}}{t_{1} b_{1}+t_{2} b_{2}+\cdots+t_{n} b_{n}} \in(\alpha, \beta).

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (explicação didática):
  • Se x<y e c>0, então c x<c y. Ou seja, multiplicar uma desigualdade por um número positivo preserva a ordem. Vou usar isso porque todos os b_{i} e t_{i} são positivos.
  • Se temos duas desigualdades do tipo u_i<v_i para i=1,\dots,n, então somando membro a membro obtemos \sum_{i=1}^{n}u_i<\sum_{i=1}^{n}v_i. A soma preserva desigualdades termo a termo.
  • Se p<q e q>0, então dividindo por q (número positivo) obtemos p/q<1 se for o caso; mais geralmente, dividir por um número positivo preserva desigualdades.
    Essas três propriedades são suficientes para o argumento: multiplicar cada desigualdade pela quantidade positiva correta, somar e dividir pelo denominador positivo final.

Passo 3

Prova de (a) — primeiro passo concreto:
Para cada i sabemos que
\alpha<\frac{a_{i}}{b_{i}}<\beta.
Como b_{i}>0, multiplicando toda a desigualdade por b_{i} (opera\c{c}~ao válida porque b_{i}>0) obtemos
\alpha b_{i}<a_{i}<\beta b_{i}.

Passo 4

Prova de (a) — somando e dividindo:
Agora some as desigualdades \alpha b_{i}<a_{i}<\beta b_{i} para i=1 até n. Somando membro a membro dá
\alpha\sum_{i=1}^{n}b_{i}<\sum_{i=1}^{n}a_{i}<\beta\sum_{i=1}^{n}b_{i}.
Como cada b_{i}>0, o somatório \sum_{i=1}^{n}b_{i} é positivo. Dividindo a desigualdade inteira por \sum_{i=1}^{n}b_{i}>0 (novamente divisão por positivo preserva a ordem) obtemos
\alpha<\frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{\sum_{i=1}^{n}b_{i}}<\beta.
Isto é exatamente
\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}}\in(\alpha,\beta),
que prova o item (a).

Passo 5

Prova de (b) — multiplicando pelas t_{i}:
Começamos de novo com \alpha<\dfrac{a_{i}}{b_{i}}<\beta para cada i. Agora, como t_{i}>0 e b_{i}>0, o produto t_{i}b_{i} é positivo. Multiplicando a desigualdade por t_{i}b_{i} obtemos
\alpha\,t_{i}b_{i}<t_{i}a_{i}<\beta\,t_{i}b_{i}.

Passo 6

Prova de (b) — somando e dividindo:
Some as desigualdades obtidas para i=1 até n. Fazendo a soma membro a membro vem
\alpha\sum_{i=1}^{n}t_{i}b_{i}<\sum_{i=1}^{n}t_{i}a_{i}<\beta\sum_{i=1}^{n}t_{i}b_{i}.
O denominador \sum_{i=1}^{n}t_{i}b_{i} é positivo (soma de termos t_{i}b_{i}>0), então dividindo por esse número positivo obtemos
\alpha<\frac{\sum_{i=1}^{n}t_{i}a_{i}}{\sum_{i=1}^{n}t_{i}b_{i}}<\beta.
Isto é exatamente
\frac{t_{1} a_{1}+t_{2} a_{2}+\cdots+t_{n} a_{n}}{t_{1} b_{1}+t_{2} b_{2}+\cdots+t_{n} b_{n}} \in(\alpha,\beta),
que prova o item (b).

Passo 7

Comentário final (intuitivo e encorajador):
O que fizemos é uma ideia simples e poderosa: cada fração está entre \alpha e \beta. Como os denominadores (ou os pesos t_{i}b_{i}) são positivos, as combinações lineares não “viram” a desigualdade — ao somar os lados multiplicados por esses positivos, a média ponderada permanece entre \alpha e \beta. Isso é a mesma ideia de que uma média (ou média ponderada) de números todos dentro de um intervalo permanece dentro desse intervalo. Vai que é útil na prova: sempre que tiver médias de razões, pense em multiplicar e somar como fizemos.

Resposta

\dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}}\in(\alpha,\beta)
\dfrac{t_{1} a_{1}+t_{2} a_{2}+\cdots+t_{n} a_{n}}{t_{1} b_{1}+t_{2} b_{2}+\cdots+t_{n} b_{n}}\in(\alpha,\beta)

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