Se
pertencem eo intervalo
e
são postivos, prove que.
CarnScanner
(a)
.
(b) Nas mesmas condições, se
, mostre que:
(a)
(b) Nas mesmas condições, se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado):
- Para
vale . - Para
vale . - No item (b) temos, além disso,
(ou seja, para todo ).
O que se pede:
- (a) Mostrar que
. - (b) Sob as mesmas hipóteses, com
, mostrar que
Passo 2
Conceitos e regras que vamos usar (explicação didática):
- Se
e , então . Ou seja, multiplicar uma desigualdade por um número positivo preserva a ordem. Vou usar isso porque todos os e são positivos. - Se temos duas desigualdades do tipo
para , então somando membro a membro obtemos . A soma preserva desigualdades termo a termo. - Se
e , então dividindo por (número positivo) obtemos se for o caso; mais geralmente, dividir por um número positivo preserva desigualdades.
Essas três propriedades são suficientes para o argumento: multiplicar cada desigualdade pela quantidade positiva correta, somar e dividir pelo denominador positivo final.
Passo 3
Prova de (a) — primeiro passo concreto:
Para cada sabemos que
Para cada
Como
, multiplicando toda a desigualdade por
(opera\c{c}~ao válida porque
) obtemos
Passo 4
Prova de (a) — somando e dividindo:
Agora some as desigualdades para
até
. Somando membro a membro dá
Agora some as desigualdades
Como cada
, o somatório
é positivo. Dividindo a desigualdade inteira por
(novamente divisão por positivo preserva a ordem) obtemos
Isto é exatamente
que prova o item (a).
Passo 5
Prova de (b) — multiplicando pelas
:
Começamos de novo com para cada
. Agora, como
e
, o produto
é positivo. Multiplicando a desigualdade por
obtemos
Começamos de novo com
Passo 6
Prova de (b) — somando e dividindo:
Some as desigualdades obtidas para até
. Fazendo a soma membro a membro vem
Some as desigualdades obtidas para
O denominador
é positivo (soma de termos
), então dividindo por esse número positivo obtemos
Isto é exatamente
que prova o item (b).
Passo 7
Comentário final (intuitivo e encorajador):
O que fizemos é uma ideia simples e poderosa: cada fração está entre e
. Como os denominadores (ou os pesos
) são positivos, as combinações lineares não “viram” a desigualdade — ao somar os lados multiplicados por esses positivos, a média ponderada permanece entre
e
. Isso é a mesma ideia de que uma média (ou média ponderada) de números todos dentro de um intervalo permanece dentro desse intervalo. Vai que é útil na prova: sempre que tiver médias de razões, pense em multiplicar e somar como fizemos.
O que fizemos é uma ideia simples e poderosa: cada fração está entre