As funções f, g, h: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, definidas por f(x)=\operatorname{sen}(1 / x), g(x)=x /|x| e h(x)=1 / x não possuem limite quando x \rightarrow 0. Quanto aos limites laterais, temos \lim _{x \rightarrow 0+} g(x)=1 e \lim _{x \rightarrow 0-} g(x)=-1 porque g(x)=1 para x>0 e g(x)=-1 se x<0. As funções f e h não possuem limites laterais quando x \rightarrow 0, nem à esquerda nem à direita. Por outro lado, \varphi: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow 0, definida por \varphi(x)=e^{-1 / x}, possui limite à direita, \lim _{x \rightarrow 0+} \varphi(x)=0, mas não existe \lim _{x \rightarrow 0-} \varphi(x) pois \varphi não é limitada para valores negativos de x próximos de zero.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede. Foram dadas as funções definidas em \mathbb{R}-\{0\}:
  • f(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(1/x\bigr).
  • g(x)=x/|x|.
  • h(x)=1/x.
  • \varphi(x)=e^{-1/x}.
O que deve ser determinado para cada função: existência do limite quando x\to 0 (limite bilateral) e existência dos limites laterais \lim_{x\to 0+} e \lim_{x\to 0-}. Em particular, precisamos indicar quando existir limite finito, quando diverge para \pm\infty, e quando não existe (por oscilar ou por tomar valores diferentes ao aproximar-se por sequências diferentes).

Passo 2

Definição e ferramenta que usarei (explicação didática).
  • Definição de limite finito: dizemos que \lim_{x\to 0} f(x)=L se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que 0<|x|<\delta temos |f(x)-L|<\varepsilon. A mesma definição vale para limites laterais trocando 0<|x|<\delta por 0<x<\delta (direita) ou por -\delta<x<0 (esquerda).
  • Critério sequencial (muito útil para provar que limite não existe): \lim_{x\to 0} f(x)=L se, e só se, para toda sequência (x_n) com x_n\neq 0 e x_n\to 0, temos f(x_n)\to L. Portanto, para mostrar que não existe limite finito, basta apresentar duas sequências que tendem a 0 mas cujas imagens por f tendem a limites distintos (ou uma diverge). Vou usar esse critério para f e para \varphi quando for conveniente. Para h usarei a ideia de desigualdade para provar divergência para \pm\infty. Para g é direto pela definição da função.

Passo 3

Análise de g(x)=x/|x|.
  • Observação simples: para x>0 temos |x|=x então g(x)=x/x=1. Para x<0 temos |x|=-x então g(x)=x/(-x)=-1.
  • Logo, para qualquer x suficientemente pequeno e positivo g(x)=1. Assim, pela definição de limite lateral, \lim_{x\to 0+} g(x)=1 (basta escolher qualquer \delta>0, para 0<x<\delta a função vale exatamente 1).
  • Analogamente, para qualquer x suficientemente pequeno e negativo g(x)=-1, então \lim_{x\to 0-} g(x)=-1.
  • Como \lim_{x\to 0+} g(x)=1 e \lim_{x\to 0-} g(x)=-1 são diferentes, o limite bilateral \lim_{x\to 0} g(x) NÃO existe. (Explicação intuitiva: os dois lados se aproximam de valores distintos.)

Passo 4

Análise de h(x)=1/x.
  • Comportamento para x>0: se tomarmos qualquer M>0, basta escolher 0<x<1/M para que 1/x>M. Isso mostra que, ao aproximar x de 0 pela direita, 1/x cresce sem limite; escrevemos \lim_{x\to 0+} 1/x = +\infty. Em termos da definição: não existe limite finito porque para qualquer candidato L e qualquer \delta sempre há 0<x<\delta com 1/x arbitrariamente grande.
  • Comportamento para x<0: se tomarmos qualquer N>0, basta escolher -1/N<x<0 (i.e., x negativo com |x|<1/N) para ter 1/x < -N. Logo \lim_{x\to 0-} 1/x = -\infty.
  • Conclusão: não existe limite finito lateral nem bilateral. Podemos dizer que o limite bilateral não existe e que os limites laterais divergem com sinais opostos ( +\infty pela direita e -\infty pela esquerda).

Passo 5

Análise de f(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(1/x\bigr). Ensino passo a passo por que não há limites laterais nem bilateral.
  • Intuição: 1/x tende a \pm\infty quando x\to 0, e \sin é periódico e oscila entre -1 e 1 para argumentos que vão para infinito; isso provoca oscilações arbitrárias da função próxima de 0.
  • Uso do critério sequencial para o limite à direita ( x\to 0+): escolha duas sequências positivas que tendem a 0 e que fazem 1/x_n cair exatamente em pontos onde \sin vale 1 e -1. Por exemplo:
    • Defina x_n^{(1)} = \dfrac{1}{\tfrac{\pi}{2} + 2\pi n}. Para cada n grande, x_n^{(1)}>0 e x_n^{(1)}\to 0. Além disso \operatorname{sen}\!\bigl(1/x_n^{(1)}\bigr)=\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\bigr)=1. Logo f(x_n^{(1)})\to 1.
    • Defina x_n^{(2)} = \dfrac{1}{\tfrac{3\pi}{2} + 2\pi n}. Novamente x_n^{(2)}>0 e x_n^{(2)}\to 0. E \operatorname{sen}\!\bigl(1/x_n^{(2)}\bigr)=\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n\bigr)=-1. Logo f(x_n^{(2)})\to -1.
    • Temos duas sequências de x\to 0+ cujas imagens por f tendem a limites distintos ( 1 e -1). Pelo critério sequencial, \lim_{x\to 0+} f(x) não existe (nem como número finito).
  • Para o limite à esquerda ( x\to 0-) procede-se de forma análoga usando as sequências negativas (basta trocar o sinal das x_n acima): por exemplo
    • y_n^{(1)} = -\dfrac{1}{\tfrac{\pi}{2} + 2\pi n} tende a 0- e dá \operatorname{sen}\!\bigl(1/y_n^{(1)}\bigr)=\operatorname{sen}\!\bigl(-(\tfrac{\pi}{2}+2\pi n)\bigr)=-1.
    • y_n^{(2)} = -\dfrac{1}{\tfrac{3\pi}{2} + 2\pi n} tende a 0- e dá \operatorname{sen}\!\bigl(1/y_n^{(2)}\bigr)=\operatorname{sen}\!\bigl(-(\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n)\bigr)=1.
    • Assim \lim_{x\to 0-} f(x) também não existe.
  • Conclusão: f não tem limite lateral direito nem esquerdo em 0; portanto também não tem limite bilateral.

Passo 6

Análise de \varphi(x)=e^{-1/x}. Vou tratar separadamente os dois lados.
  • Lado direito ( x\to 0+): para x>0 pequeno temos -1/x\to -\infty, logo intuitivamente e^{-1/x}\to 0. Faço uma prova em \varepsilon- \delta curta: dado \varepsilon>0, queremos \delta>0 tal que 0<x<\delta implique e^{-1/x}<\varepsilon. Tomando logaritmo (lembrando que \ln\varepsilon<0 quando \varepsilon<1), a condição e^{-1/x}<\varepsilon é equivalente a -1/x < \ln\varepsilon, isto é 1/x > -\ln\varepsilon, isto é x < 1/(-\ln\varepsilon). Então basta escolher \delta = \min\!\bigl(1,\;1/(-\ln\varepsilon)\bigr). Assim para todo 0<x<\delta vale e^{-1/x}<\varepsilon. Isso prova que \lim_{x\to 0+} e^{-1/x} = 0.
  • Lado esquerdo ( x\to 0-): para x<0 próximo de 0 temos -1/x>0 e grande, logo e^{-1/x} cresce sem limite; formalmente, dado qualquer M>0, escolha x negativo com |x|<1/\ln M (ou mais diretamente, escolha x tais que -1/x>\ln M), então e^{-1/x}>M. Assim \varphi(x) não é limitada quando x\to 0- e tende a +\infty (em termos de comportamento): \lim_{x\to 0-} e^{-1/x} = +\infty. Em particular, não existe limite finito à esquerda.
  • Conclusão: \varphi tem limite lateral direito igual a 0, não tem limite lateral esquerdo finito (diverge para +\infty) e portanto não tem limite bilateral finito.

Resposta

f(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(1/x\bigr): não existe \lim_{x\to 0}f(x); não existe \lim_{x\to 0+}f(x); não existe \lim_{x\to 0-}f(x).
g(x)=x/|x|: \lim_{x\to 0+}g(x)=1;; \lim_{x\to 0-}g(x)=-1;; \lim_{x\to 0}g(x) não existe.
h(x)=1/x: \lim_{x\to 0+}h(x)=+\infty (diverge);; \lim_{x\to 0-}h(x)=-\infty (diverge);; \lim_{x\to 0}h(x) não existe (não é finito).
\varphi(x)=e^{-1/x}: \lim_{x\to 0+}\varphi(x)=0;; \lim_{x\to 0-}\varphi(x)=+\infty (diverge);; \lim_{x\to 0}\varphi(x) não existe.

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