As funções
, definidas por
,
e
não possuem limite quando
. Quanto aos limites laterais, temos
e
porque
para
e
se
. As funções
e
não possuem limites laterais quando
, nem à esquerda nem à direita. Por outro lado,
, definida por
, possui limite à direita,
, mas não existe
pois
não é limitada para valores negativos de
próximos de zero.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede. Foram dadas as funções definidas em
:
-
. -
. -
. -
.
O que deve ser determinado para cada função: existência do limite quando
(limite bilateral) e existência dos limites laterais
e
. Em particular, precisamos indicar quando existir limite finito, quando diverge para
, e quando não existe (por oscilar ou por tomar valores diferentes ao aproximar-se por sequências diferentes).
Passo 2
Definição e ferramenta que usarei (explicação didática).
- Definição de limite finito: dizemos que
se, para todo , existe tal que sempre que temos . A mesma definição vale para limites laterais trocando por (direita) ou por (esquerda). - Critério sequencial (muito útil para provar que limite não existe):
se, e só se, para toda sequência com e , temos . Portanto, para mostrar que não existe limite finito, basta apresentar duas sequências que tendem a mas cujas imagens por tendem a limites distintos (ou uma diverge). Vou usar esse critério para e para quando for conveniente. Para usarei a ideia de desigualdade para provar divergência para . Para é direto pela definição da função.
Passo 3
Análise de
.
- Observação simples: para
temos então . Para temos então . - Logo, para qualquer
suficientemente pequeno e positivo . Assim, pela definição de limite lateral, (basta escolher qualquer , para a função vale exatamente ). - Analogamente, para qualquer
suficientemente pequeno e negativo , então . - Como
e são diferentes, o limite bilateral NÃO existe. (Explicação intuitiva: os dois lados se aproximam de valores distintos.)
Passo 4
Análise de
.
- Comportamento para
: se tomarmos qualquer , basta escolher para que . Isso mostra que, ao aproximar de pela direita, cresce sem limite; escrevemos . Em termos da definição: não existe limite finito porque para qualquer candidato e qualquer sempre há com arbitrariamente grande. - Comportamento para
: se tomarmos qualquer , basta escolher (i.e., negativo com ) para ter . Logo . - Conclusão: não existe limite finito lateral nem bilateral. Podemos dizer que o limite bilateral não existe e que os limites laterais divergem com sinais opostos (
pela direita e pela esquerda).
Passo 5
Análise de
. Ensino passo a passo por que não há limites laterais nem bilateral.
- Intuição:
tende a quando , e é periódico e oscila entre e para argumentos que vão para infinito; isso provoca oscilações arbitrárias da função próxima de . - Uso do critério sequencial para o limite à direita (
): escolha duas sequências positivas que tendem a e que fazem cair exatamente em pontos onde vale e . Por exemplo: - Defina
. Para cada grande, e . Além disso . Logo . - Defina
. Novamente e . E . Logo . - Temos duas sequências de
cujas imagens por tendem a limites distintos ( e ). Pelo critério sequencial, não existe (nem como número finito).
- Defina
- Para o limite à esquerda (
) procede-se de forma análoga usando as sequências negativas (basta trocar o sinal das acima): por exemplo -
tende a e dá . -
tende a e dá . - Assim
também não existe.
-
- Conclusão:
não tem limite lateral direito nem esquerdo em ; portanto também não tem limite bilateral.
Passo 6
Análise de
. Vou tratar separadamente os dois lados.
- Lado direito (
): para pequeno temos , logo intuitivamente . Faço uma prova em - curta: dado , queremos tal que implique . Tomando logaritmo (lembrando que quando ), a condição é equivalente a , isto é , isto é . Então basta escolher . Assim para todo vale . Isso prova que . - Lado esquerdo (
): para próximo de temos e grande, logo cresce sem limite; formalmente, dado qualquer , escolha negativo com (ou mais diretamente, escolha tais que ), então . Assim não é limitada quando e tende a (em termos de comportamento): . Em particular, não existe limite finito à esquerda. - Conclusão:
tem limite lateral direito igual a , não tem limite lateral esquerdo finito (diverge para ) e portanto não tem limite bilateral finito.