Seja f: X \rightarrow \mathbb{R} uma função monótona limitada. Para todo a \in X_{+}^{\prime} e todo b \in X_{-}^{\prime} existem L=\lim _{x \rightarrow a+} f(x) e M= \lim _{x \rightarrow b-} f(x). Ou seja: existem sempre os limites laterais de uma função monótona limitada.
Demonstração: Para fixar as idéias, suponhamos f não-decrescente. Seja L= \inf \{f(x) ; x \in X, x>a\}. Afirmamos que \lim _{x \rightarrow a+} f(x)=L. Com efeito, dado arbitrariamente \varepsilon>0, L+\varepsilon não é cota inferior do conjunto limitado \{f(x) ; x \in X, x>a\}. Logo existe \delta>0 tal que a+\delta \in X \mathrm{e} L \leq f(a+\delta)<L+\varepsilon. Como f é não-decrescente, x \in X \cap(a, a+\delta) \Rightarrow L \leq f(x)<L+\varepsilon, o que prova a afirmação feita. De modo análogo vê-se que M=\sup \{f(x) ; x \in X, x<b\} é o limite à esquerda M=\lim _{x \rightarrow b-} f(x).

Passo 1

Vou explicitar com calma o que o enunciado pede e o que é dado (sem ainda provar nada).
  • Dado: f: X \to \mathbb{R} é uma função monótona e limitada.
  • Significa: existe uma ordem (monotonia) em f — ou é não-decrescente (sempre cresce ou fica constante) ou é não-crescente (sempre decresce ou fica constante) — e existe um número que limita todos os valores \,f(x)\, (ou seja, f é limitada).
  • Também são dados pontos de acumulação lateral: a\in X_{+}^{\prime} (ponto de acumulação pela direita) e b\in X_{-}^{\prime} (ponto de acumulação pela esquerda). Isto quer dizer que há pontos de X arbitrariamente próximos de a vindos da direita, e pontos de X arbitrariamente próximos de b vindos da esquerda.
  • Definições sugeridas no enunciado:
    • \displaystyle L=\inf\{f(x)\;;\;x\in X,\\ x>a\}.
    • \displaystyle M=\sup\{f(x)\;;\;x\in X,\\ x<b\}.
  • O que se pede: provar que existem os limites laterais
    • \displaystyle \lim_{x\to a+} f(x) existe e é igual a L;
    • \displaystyle \lim_{x\to b-} f(x) existe e é igual a M.

Passo 2

Vou relembrar e explicar os conceitos que vou usar — assim fica mais fácil na prova.
  • Ponto de acumulação pela direita a\in X_{+}^{\prime}: significa que para todo \delta>0 existe x\in X com a<x<a+\delta. Ou seja, há pontos de X arbitrariamente próximos de a vindos da direita. Analogamente para b\in X_{-}^{\prime}.
  • Função não-decrescente (monótona crescente fraca): para quaisquer x,y\in X com x<y tem-se f(x)\le f(y). Função não-crescente é a desigualdade invertida. Estas propriedades são o que chamamos de monotonia.
  • Conjunto limitado: o conjunto dos valores f(X) está contido em algum intervalo finito; isso garante que supremo e ínfimo são números reais finitos quando o conjunto considerado é não vazio.
  • Supremo e ínfimo:
    • \inf S é o maior dos limites inferiores de S: é um número L tal que L\le s para todo s\in S, e para qualquer \varepsilon>0 existe s\in S com s< L+\varepsilon.
    • \sup S é o menor dos limites superiores de S: é M tal que s\le M para todo s\in S, e para qualquer \varepsilon>0 existe s\in S com s> M-\varepsilon.
  • Definição de limite lateral (direita): \lim_{x\to a+} f(x)=L significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, para todo x\in X com a<x<a+\delta, temos |f(x)-L|<\varepsilon. (Analogamente para limite pela esquerda).
  • Estratégia geral (explicada em palavras): vou mostrar que o conjunto \{f(x):x\in X,\\ x>a\} é não vazio e limitado, portanto tem ínfimo L. Em seguida, uso a propriedade característica do ínfimo (parte sobre existirem elementos dentro de qualquer \varepsilon acima do ínfimo) e a monotonia de f para construir um \delta que funciona na definição \varepsilon- \delta do limite pela direita. O caso da esquerda é análogo; se f for não-crescente, aplico o mesmo raciocínio a -f.

Passo 3

Prova da existência do limite pela direita quando f é não-decrescente (caso fixo).
  • Primeiro, o conjunto S:=\{f(x)\;;\;x\in X,\\ x>a\}é não vazio. Porque a\in X_{+}^{\prime} significa que existem pontos x\in X com x>a arbitrariamente próximos de a; portanto há pelo menos um x>a em X, logo S contém algum valor f(x).
  • Além disso S é limitado (por hipótese f é limitada), então o ínfimo L=\inf S existe e é um número real finito.
  • Propriedade-chave do ínfimo L: para todo \varepsilon>0 existe algum x_0\in X com x_0>a tal que f(x_0) < L + \varepsilon.(Isto decorre justamente da definição de ínfimo: L+\varepsilon não é uma cota inferior e portanto existe elemento do conjunto menor que L+\varepsilon.)
  • Defina \delta := x_0 - a > 0. Note que a+\delta = x_0 e que, por construção, x_0\in X.
  • Agora tome qualquer x\in X com a< x < a+\delta. Então x<x_0. Como f é não-decrescente, de x<x_0 segue f(x) \le f(x_0).
  • Portanto L \le f(x) \le f(x_0) < L + \varepsilon.A primeira desigualdade L\le f(x) é porque L é cota inferior de S, logo de todos os f(x) com x>a.
  • Consequentemente |f(x)-L| < \varepsilon para todo x\in X\cap(a,a+\delta). Isso é exatamente a definição de limite lateral pela direita com valor L.
  • Conclusão deste passo: \displaystyle \lim_{x\to a+} f(x)=L.

Passo 4

Prova da existência do limite pela esquerda quando f é não-decrescente.
  • Considere T:=\{f(x)\;;\;x\in X,\\ x<b\}.Como b\in X_{-}^{\prime} há pontos de X arbitrariamente próximos de b vindos da esquerda, então T é não vazio; sendo f limitada, T é limitado e tem supremo M=\sup T.
  • Característica do supremo: para todo \varepsilon>0 existe x_0\in X com x_0<b tal que f(x_0) > M - \varepsilon.
  • Defina \delta := b - x_0 > 0. Para qualquer x\in X com b-\delta < x < b (isto é, x_0 < x < b), como f é não-decrescente e x>x_0 segue f(x)\ge f(x_0).
  • Assim M - \varepsilon < f(x_0) \le f(x) \le M,em que a última desigualdade f(x)\le M decorre de M ser cota superior de T.
  • Logo |f(x)-M|<\varepsilon para todo x\in X\cap(b-\delta,b). Isso prova que \displaystyle \lim_{x\to b-} f(x)=M.

Passo 5

Observação sobre o caso em que f é não-crescente (em vez de não-decrescente).
  • Se f é não-crescente, então -f é não-decrescente e continua sendo limitada. Aplicando os passos anteriores a -f obtemos: \lim_{x\to a+} (-f(x)) = \inf\{-f(x)\;;\;x\in X,\\ x>a\},e por manipular o sinal chega-se a \lim_{x\to a+} f(x) = \sup\{f(x)\;;\;x\in X,\\ x>a\}.Analogamente para o limite pela esquerda. Ou seja, o argumento é o mesmo, só que os papéis de ínfimo e supremo se invertem conforme a monotonia (cresce ou decresce).
  • Em resumo: para qualquer monotonia (não-decrescente ou não-crescente) e sob a hipótese de f limitada e a\in X_{+}^{\prime},\\ b\in X_{-}^{\prime}, os limites laterais existem e são dados pelos respectivos supremos/ínfimos do conjunto dos valores à direita/à esquerda.

Passo 6

Recapitulando, com um comentário prático para a prova.
  • O ponto-chave para a prova é usar que monotonia transforma desigualdades entre abscissas em desigualdades entre imagens, e que ínfimo/supremo garantem a existência de valores arbitrariamente próximos do limite desejado por cima/por baixo. Então a prova é curta e elegante: mostrar que o conjunto de valores à direita (ou à esquerda) é não vazio e limitado, pegar seu ínfimo (ou supremo), usar a propriedade de aproximação do ínfimo/supremo para obter um ponto x_0 e, pela monotonia, controlar todos os x entre a e x_0 (ou entre x_0 e b).
  • Força aí: na prova escrita diga claramente o porquê S e T são não vazios (usar a\in X_{+}^{\prime}, b\in X_{-}^{\prime}), por que têm ínfimo/supremo (função limitada), e faça o argumento \varepsilon- \delta exibido acima.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to a+} f(x)=L=\inf\{f(x)\;;\;x\in X,\\ x>a\}
\displaystyle \lim_{x\to b-} f(x)=M=\sup\{f(x)\;;\;x\in X,\\ x<b\}

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