Seja
uma função monótona limitada. Para todo
e todo
existem
e
. Ou seja: existem sempre os limites laterais de uma função monótona limitada.
Demonstração: Para fixar as idéias, suponhamos
não-decrescente. Seja
. Afirmamos que
. Com efeito, dado arbitrariamente
não é cota inferior do conjunto limitado
. Logo existe
tal que
. Como
é não-decrescente,
, o que prova a afirmação feita. De modo análogo vê-se que
é o limite à esquerda
.
Passo 1
Vou explicitar com calma o que o enunciado pede e o que é dado (sem ainda provar nada).
- Dado:
é uma função monótona e limitada. - Significa: existe uma ordem (monotonia) em
— ou é não-decrescente (sempre cresce ou fica constante) ou é não-crescente (sempre decresce ou fica constante) — e existe um número que limita todos os valores (ou seja, é limitada). - Também são dados pontos de acumulação lateral:
(ponto de acumulação pela direita) e (ponto de acumulação pela esquerda). Isto quer dizer que há pontos de arbitrariamente próximos de vindos da direita, e pontos de arbitrariamente próximos de vindos da esquerda. - Definições sugeridas no enunciado:
-
. -
.
-
- O que se pede: provar que existem os limites laterais
-
existe e é igual a ; -
existe e é igual a .
-
Passo 2
Vou relembrar e explicar os conceitos que vou usar — assim fica mais fácil na prova.
- Ponto de acumulação pela direita
: significa que para todo existe com . Ou seja, há pontos de arbitrariamente próximos de vindos da direita. Analogamente para . - Função não-decrescente (monótona crescente fraca): para quaisquer
com tem-se . Função não-crescente é a desigualdade invertida. Estas propriedades são o que chamamos de monotonia. - Conjunto limitado: o conjunto dos valores
está contido em algum intervalo finito; isso garante que supremo e ínfimo são números reais finitos quando o conjunto considerado é não vazio. - Supremo e ínfimo:
-
é o maior dos limites inferiores de : é um número tal que para todo , e para qualquer existe com . -
é o menor dos limites superiores de : é tal que para todo , e para qualquer existe com .
-
- Definição de limite lateral (direita):
significa que para todo existe tal que, para todo com , temos . (Analogamente para limite pela esquerda). - Estratégia geral (explicada em palavras): vou mostrar que o conjunto
é não vazio e limitado, portanto tem ínfimo . Em seguida, uso a propriedade característica do ínfimo (parte sobre existirem elementos dentro de qualquer acima do ínfimo) e a monotonia de para construir um que funciona na definição - do limite pela direita. O caso da esquerda é análogo; se for não-crescente, aplico o mesmo raciocínio a .
Passo 3
Prova da existência do limite pela direita quando
é não-decrescente (caso fixo).
- Primeiro, o conjunto
é não vazio. Porque significa que existem pontos com arbitrariamente próximos de ; portanto há pelo menos um em , logo contém algum valor . - Além disso
é limitado (por hipótese é limitada), então o ínfimo existe e é um número real finito. - Propriedade-chave do ínfimo
: para todo existe algum com tal que (Isto decorre justamente da definição de ínfimo: não é uma cota inferior e portanto existe elemento do conjunto menor que .) - Defina
. Note que e que, por construção, . - Agora tome qualquer
com . Então . Como é não-decrescente, de segue . - Portanto
A primeira desigualdade é porque é cota inferior de , logo de todos os com . - Consequentemente
para todo . Isso é exatamente a definição de limite lateral pela direita com valor . - Conclusão deste passo:
.
Passo 4
Prova da existência do limite pela esquerda quando
é não-decrescente.
- Considere
Como há pontos de arbitrariamente próximos de vindos da esquerda, então é não vazio; sendo limitada, é limitado e tem supremo . - Característica do supremo: para todo
existe com tal que - Defina
. Para qualquer com (isto é, ), como é não-decrescente e segue . - Assim
em que a última desigualdade decorre de ser cota superior de . - Logo
para todo . Isso prova que .
Passo 5
Observação sobre o caso em que
é não-crescente (em vez de não-decrescente).
- Se
é não-crescente, então é não-decrescente e continua sendo limitada. Aplicando os passos anteriores a obtemos: e por manipular o sinal chega-se a Analogamente para o limite pela esquerda. Ou seja, o argumento é o mesmo, só que os papéis de ínfimo e supremo se invertem conforme a monotonia (cresce ou decresce). - Em resumo: para qualquer monotonia (não-decrescente ou não-crescente) e sob a hipótese de
limitada e , os limites laterais existem e são dados pelos respectivos supremos/ínfimos do conjunto dos valores à direita/à esquerda.
Passo 6
Recapitulando, com um comentário prático para a prova.
- O ponto-chave para a prova é usar que monotonia transforma desigualdades entre abscissas em desigualdades entre imagens, e que ínfimo/supremo garantem a existência de valores arbitrariamente próximos do limite desejado por cima/por baixo. Então a prova é curta e elegante: mostrar que o conjunto de valores à direita (ou à esquerda) é não vazio e limitado, pegar seu ínfimo (ou supremo), usar a propriedade de aproximação do ínfimo/supremo para obter um ponto
e, pela monotonia, controlar todos os entre e (ou entre e ). - Força aí: na prova escrita diga claramente o porquê
e são não vazios (usar , ), por que têm ínfimo/supremo (função limitada), e faça o argumento - exibido acima.