1. \frac{d}{d x} \int_{2}^{\operatorname{tg} x} \frac{1}{1+t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada em relação a x da função
F(x) = \int_{2}^{\tan x} \frac{1}{1+t^{2}}\,dt.
O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) Parte 2, junto com a regra da cadeia, pois o limite superior da integral é a função \tan x.

Passo 2

Pelo TFC Parte 2, se
G(x)=\int_{a}^{u(x)} f(t)\,dt,
então
G'(x)=f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Aqui temos f(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}} e u(x)=\tan x.

Passo 3

Calculamos primeiro
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=\operatorname{sec}^{2}x.
Em seguida, avaliamos f em u(x):
f\bigl(\tan x\bigr)=\frac{1}{1+(\tan x)^{2}}.

Passo 4

Aplicando a fórmula do TFC com regra da cadeia, obtemos
F'(x) =f\bigl(\tan x\bigr)\,\operatorname{sec}^{2}x =\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{1+\tan^{2}x}.
Como conhecemos a identidade trigonométrica
1+\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x,
segue que
F'(x)=\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{\operatorname{sec}^{2}x}=1.

Resposta

A derivada é 1.

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