1. \int \frac{x^{3} d x}{\sqrt{1-2 x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1-2x^{2}}}\,dx.
O conteúdo principal é uso de substituição para eliminar a raiz. Vamos escolher u de forma que apareça du proporcional a x\,dx e possamos reescrever x^3\,dx.

Passo 2

Faça a substituição
u = 1 - 2x^{2}.
Então
du = -4x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\frac{1}{4}\,du.
Além disso, note que
x^{2} = \frac{1 - u}{2},
pois u = 1 - 2x^2\implies2x^2 = 1 - u.

Passo 3

Reescrevendo x^3\,dx = x^2\cdot x\,dx em termos de u:
x^3\,dx = x^2\,(x\,dx) = \frac{1 - u}{2}\,\Bigl(-\frac{1}{4}du\Bigr) = -\frac{1}{8}(1 - u)\,du.
E a raiz fica \sqrt{1-2x^2}=\sqrt{u}. Logo a integral vira
\int \frac{x^3}{\sqrt{1-2x^2}}\,dx = \int \frac{-\tfrac{1}{8}(1 - u)}{\sqrt{u}}\,du = -\frac{1}{8}\int\Bigl(u^{-\tfrac12}-u^{\tfrac12}\Bigr)\,du.

Passo 4

Calcule cada parcela:
\int u^{-\tfrac12}\,du = 2\,u^{\tfrac12}, \quad \int u^{\tfrac12}\,du = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32}.
Portanto
-\frac{1}{8}\int\Bigl(u^{-\tfrac12}-u^{\tfrac12}\Bigr)\,du = -\frac{1}{8}\Bigl(2u^{\tfrac12}-\tfrac{2}{3}u^{\tfrac32}\Bigr) = -\frac{1}{4}u^{\tfrac12}+\frac{1}{12}u^{\tfrac32}+C.

Passo 5

Volte a x usando u=1-2x^2:
u^{\tfrac12}=\sqrt{1-2x^2}, \quad u^{\tfrac32}=(1-2x^2)\sqrt{1-2x^2}.
Logo
-\frac{1}{4}\sqrt{u}+\frac{1}{12}u\sqrt{u} = \sqrt{1-2x^2}\Bigl(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{1-2x^2}{12}\Bigr) = -\frac{x^2+1}{6}\,\sqrt{1-2x^2}+C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1-2x^{2}}}\,dx = -\frac{x^{2}+1}{6}\,\sqrt{1-2x^{2}} + C. }

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