\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} g(t) d t=g(x)

Passo 1

O enunciado afirma que, para uma função contínua g em um intervalo que contém a, definimos
F(x)=\int_{a}^{x}g(t)\,dt
e queremos mostrar que
F'(x)=g(x).
Esse resultado é o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivada e integral.

Passo 2

Pela definição de derivada, temos
F'(x)=\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}.

Passo 3

Usando a propriedade de aditividade do integral nos limites, escrevemos
F(x+h)-F(x) =\int_{a}^{x+h}g(t)\,dt \;-\;\int_{a}^{x}g(t)\,dt =\int_{x}^{x+h}g(t)\,dt.

Passo 4

Substituindo na diferença quociente, obtém-se
\frac{F(x+h)-F(x)}{h} =\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}g(t)\,dt.
Como g é contínua em x, o Teorema do Valor Médio para integrais garante que existe c\in[x,x+h] tal que
\int_{x}^{x+h}g(t)\,dt=g\text{(c)}\,h.
Quando h\to0, temos c\to x e portanto g\text{(c)}\to g(x).

Passo 5

Assim,
F'(x) =\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}g(t)\,dt =\lim_{h\to0}g\text{(c)} = g(x).

Resposta

\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}g(t)\,dt = g(x).

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