\frac{d}{d x} \int_{a}^{b} g(x, t) d t=\int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial x} g(x, t) d t

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, quando os limites de integração são constantes e g(x,t) é suficientemente regular (por exemplo, contínua em x e \tfrac{\partial}{\partial x}g contínua em (x,t)), a derivada em relação a x da integral
F(x)=\int_{a}^{b}g(x,t)\,dt
é dada por
F'(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}g(x,t)\,dt =\int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial x}g(x,t)\,dt.
O conteúdo aqui é a regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral com limites constantes.

Passo 2

Definimos
F(x)=\int_{a}^{b}g(x,t)\,dt
e usamos a definição do derivado:
F'(x) =\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\int_{a}^{b}\bigl[g(x+h,t)-g(x,t)\bigr]\,dt.
Reescrevendo,
F'(x) =\lim_{h\to0}\int_{a}^{b}\frac{g(x+h,t)-g(x,t)}{h}\,dt.

Passo 3

Para trocar o limite com a integral, observamos que, para cada t fixo, o quociente
\frac{g(x+h,t)-g(x,t)}{h}
tende a \tfrac{\partial}{\partial x}g(x,t) quando h\to0. Se ainda existir uma função integrável M(t) que domine em módulo todos os quocientes para h pequeno (por exemplo, pelo teorema do valor médio e continuidade de \tfrac{\partial g}{\partial x}), podemos aplicar o Teorema da Convergência Dominada e obter:
F'(x) =\int_{a}^{b}\lim_{h\to0}\frac{g(x+h,t)-g(x,t)}{h}\,dt =\int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial x}g(x,t)\,dt.

Resposta

\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}g(x,t)\,dt =\int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial x}g(x,t)\,dt.

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