1. \int u^{n} d u=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C, n \neq-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int u^n \, du
para n \neq -1. O conteúdo envolvido é a antiderivação de potências, usando a “regra da potência invertida”.

Passo 2

Vamos propor uma primitiva candidata
F(u)=\frac{u^{n+1}}{n+1}.
Para verificar que F é de fato uma antiderivada de u^n, aplicamos a regra de potência na diferenciação:
F'(u) =\frac{d}{du}\!\Bigl(\frac{u^{n+1}}{n+1}\Bigr) =\frac{n+1}{n+1}\,u^{(n+1)-1} =u^n.

Passo 3

Como F'(u)=u^n, concluímos que
\int u^n \,du = F(u) + C = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.

Resposta

\int u^n \,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C,\quad n \neq -1.

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