Passo 1
O enunciado pede a derivada de
. O conteúdo aqui é o cálculo de derivada de função inversa – em particular, de função hiperbólica inversa. Para resolver, vamos usar a definição de inversa e a identidade fundamental das funções hiperbólicas.
Passo 2
Defina
o que significa, por definição de inversa,
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
, lembrando que
depende de
:
Isolando
, obtemos
Passo 3
Para expressar
em termos de
, usamos a identidade hiperbólica
Como
, segue
considerando o ramo positivo de
para
e
.
Passo 4
Substituindo
em
, concluímos