\frac{d}{d x} \operatorname{cosh} ^{-1} x=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \operatorname{cosh}^{-1}(x). O conteúdo aqui é o cálculo de derivada de função inversa – em particular, de função hiperbólica inversa. Para resolver, vamos usar a definição de inversa e a identidade fundamental das funções hiperbólicas.

Passo 2

Defina
y = \operatorname{cosh}^{-1}(x),
o que significa, por definição de inversa,
x = \operatorname{cosh}(y).
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x, lembrando que y depende de x:
\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{cosh}(y)\bigr) \quad\Rightarrow\quad 1 = \operatorname{sinh}(y)\,\frac{dy}{dx}.
Isolando \frac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\operatorname{sinh}(y)}.

Passo 3

Para expressar \operatorname{sinh}(y) em termos de x, usamos a identidade hiperbólica
\operatorname{cosh}^2(y) - \operatorname{sinh}^2(y) = 1.
Como \operatorname{cosh}(y)=x, segue
\operatorname{sinh}^2(y) = \operatorname{cosh}^2(y) - 1 = x^2 - 1 \quad\Rightarrow\quad \operatorname{sinh}(y) = \sqrt{x^2 - 1},
considerando o ramo positivo de \operatorname{sinh}(y) para y=\operatorname{cosh}^{-1}(x) e x\ge1.

Passo 4

Substituindo \operatorname{sinh}(y)=\sqrt{x^2-1} em \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\operatorname{sinh}(y)}, concluímos
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}.

Resposta

\frac{d}{dx}\operatorname{cosh}^{-1}(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}.

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