\frac{d}{d x} \operatorname{tanh} ^{-1} x=\frac{1}{1-x^{2}},|x|<1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \operatorname{tanh}^{-1}x. Para isso vamos usar a técnica de diferenciação de função inversa: se y=f^{-1}(x), então
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(x)\bigr)}.

Passo 2

Defina
y = \operatorname{tanh}^{-1}x
que equivale a
\operatorname{tanh} y = x.
Derivando ambos os lados em relação a x (diferenciação implícita), temos
\sech^2 y \,\frac{dy}{dx}=1,
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\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sech^2 y}.

Passo 3

Usamos a identidade hiperbólica
\sech^2 y = 1 - \operatorname{tanh}^2 y,
e como \operatorname{tanh} y = x, concluímos
\sech^2 y = 1 - x^2.
Substituindo em \frac{dy}{dx}, obtemos
\frac{d}{dx}\operatorname{tanh}^{-1}x =\frac{1}{1 - x^2},
válido para |x|<1.

Resposta

\frac{d}{dx}\operatorname{tanh}^{-1}x=\frac{1}{1-x^{2}},\quad |x|<1.

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