(6) \frac{d y}{d x}=-\frac{a x-b y}{b x-c y}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
que é homogênea de grau zero (todos os termos em
e
têm grau 1). O conteúdo aqui é a técnica de variáveis homogêneas: faremos a substituição
de modo que
seja função de
.
Passo 2
Com
temos
Substituindo na equação original:
Logo, isolando
:
Passo 3
Separamos variáveis:
Vamos integrar ambos os lados.
Passo 4
Calculemos
Para a segunda integral, use
,
, obtendo
Para a primeira, note que
Assim
Passo 5
Igualando à integração do lado direito,
integral dx/x=ln|x|+C , obtemos a solução implícita:
Substituindo
u=y/x , fica
Resposta
A solução geral (implícita) da equação
é dada por
onde
C é constante de integração.