(6) \frac{d y}{d x}=-\frac{a x-b y}{b x-c y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
dydx = -a,x - b,yb,x - c,y,
que é homogênea de grau zero (todos os termos em x e y têm grau 1). O conteúdo aqui é a técnica de variáveis homogêneas: faremos a substituição
y = u,x,
de modo que u seja função de x.

Passo 2

Com y = u,x temos
dydx = u + x,dudx
Substituindo na equação original:
u + xdudx = -a,x - b,(u,x)b,x - c,(u,x) = -a - b,ub - c,u
Logo, isolando x,du/dx:
xdudx = -a - b,ub - c,u - u = c,u^2 - ab - c,u

Passo 3

Separamos variáveis:
b - c,uc,u^2 - a,du = dxx
Vamos integrar ambos os lados.

Passo 4

Calculemos
integral b - c,uc,u^2 - a,du = bintegralduc,u^2 - a - cintegralu,duc,u^2 - a
Para a segunda integral, use v = c,u^2 - a, dv = 2c,u,du, obtendo
integralu,duc,u^2 - a =12clnl|c,u^2 - ar|
Para a primeira, note que
integralduc,u^2 - a =12raiza,cln!l|raizc,u - raizaraizc,u + raizar|
Assim
integral b - c,uc,u^2 - a,du =b2raiza,cln!l|raizc,u - raizaraizc,u + raizar| -12lnl|c,u^2 - ar| + C

Passo 5

Igualando à integração do lado direito, integral dx/x=ln|x|+C, obtemos a solução implícita:
b2raiza,cln!l|raizc,u - raizaraizc,u + raizar| -12lnl|c,u^2 - ar| =ln|x| + C
Substituindo u=y/x, fica
b2raiza,c ln!l|raizc,tfracyx - raizaraizc,tfracyx + raizar| -12ln!l|cl(tfracyxr)^2 - ar| =ln|x| + C

Resposta

A solução geral (implícita) da equação
dydx = -a,x - b,yb,x - c,y
é dada por
b2raiza,c ln!l|raizc,yx - raizaraizc,yx + raizar| -12ln!l|cl(yxr)^2 - ar| =ln|x| + C,
onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados