Desenhe o conjunto de nível da função f dada por:
f(x, y, z)=\mathrm{e}{-\left(x{2}+y{2}+z{2}\right)}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente “desenhe o conjunto de nível” da função
f(x,y,z)=e^-l(x^2+y^2+z^2r)
Em outras palavras, para um valor fixo c (nível), queremos o conjunto
(x,y,z)inR^3 mid f(x,y,z)=c
O conteúdo é geometria de superfícies de nível em R^3.

Passo 2

Impondo
f(x,y,z)=c, 0<c<=1,
temos
e^-(x^2+y^2+z^2)=c Longrightarrow -(x^2+y^2+z^2)=ln c Longrightarrow x^2+y^2+z^2=-ln c
Note que ln c<=0 para 0<c<=1, de modo que -ln c>=0.

Passo 3

A equação
x^2+y^2+z^2=-ln c
é exatamente a de uma esfera de centro na origem e raio
R=raiz-ln c
Concluímos, portanto, que cada superfície de nível f(x,y,z)=c é uma esfera centrada em (0,0,0) de raio raiz-ln c. Ao variar c de 1 até 0, obtemos esferas concêntricas de raio de 0 a +infty.

Resposta

O conjunto de nível f(x,y,z)=c é a esfera centrada em (0,0,0) de equação
x^2+y^2+z^2=-ln c,
ou seja, de raio raiz-ln c.

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