O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{x y + 3x - y - 3}{x y - 2x + 4y - 8}
e pede a solução geral. O conteúdo aqui é separação de variáveis após fatorarmos numerador e denominador. Vamos precisar reconhecer fatores lineares, separar as variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 2
Fatoramos numerador e denominador agrupando termos:
x y + 3x - y - 3 = (x-1)(y+3),
x y - 2x + 4y - 8 = (x+4)(y-2).
Logo a equação fica
\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)(y+3)}{(x+4)(y-2)}.
Passo 3
Separamos as variáveis colocando todo termo em y com dy e todo termo em x com dx:
\frac{y-2}{y+3}\,dy = \frac{x-1}{x+4}\,dx.
Passo 4
Para integrar, escrevemos cada fração como soma de termos simples: