\frac{d y}{d x}=\frac{x y+3 x-y-3}{x y-2 x+4 y-8}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{x y + 3x - y - 3}{x y - 2x + 4y - 8}
e pede a solução geral. O conteúdo aqui é separação de variáveis após fatorarmos numerador e denominador. Vamos precisar reconhecer fatores lineares, separar as variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador agrupando termos:
x y + 3x - y - 3 = (x-1)(y+3),
x y - 2x + 4y - 8 = (x+4)(y-2).
Logo a equação fica
\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)(y+3)}{(x+4)(y-2)}.

Passo 3

Separamos as variáveis colocando todo termo em y com dy e todo termo em x com dx:
\frac{y-2}{y+3}\,dy = \frac{x-1}{x+4}\,dx.

Passo 4

Para integrar, escrevemos cada fração como soma de termos simples:
\frac{y-2}{y+3} = 1 - \frac{5}{y+3}, \qquad \frac{x-1}{x+4} = 1 - \frac{5}{x+4}.
Então
\int\frac{y-2}{y+3}\,dy = \int\Bigl(1 - \frac{5}{y+3}\Bigr)dy = y - 5\ln\lvert y+3\rvert,
\int\frac{x-1}{x+4}\,dx = \int\Bigl(1 - \frac{5}{x+4}\Bigr)dx = x - 5\ln\lvert x+4\rvert.

Passo 5

Igualando as primitivadas e introduzindo a constante C, obtemos
y - 5\ln\lvert y+3\rvert = x - 5\ln\lvert x+4\rvert + C.
Reorganizando, a forma implícita da solução geral é
y - x - 5\ln\!\biggl\lvert\frac{y+3}{x+4}\biggr\rvert = C.

Resposta

y - x - 5\ln\!\biggl\lvert\frac{y+3}{x+4}\biggr\rvert = C,
onde C é constante de integração.

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