\frac{d y}{d x}=e^{3 x+2 y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária e pede encontrar a solução geral y(x):
\frac{d y}{d x}=e^{3 x+2 y}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação relaciona a derivada \dfrac{dy}{dx} com uma função exponencial que depende de x e de y.
  • Não foi dada condição inicial; portanto vamos encontrar a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Observação sobre o método (explicação didática e escolha): a expressão do lado direito pode ser fatorada como produto de uma função só de x e outra só de y, porque
e^{3x+2y}=e^{3x}\,e^{2y}.
Quando a equação tem essa forma é natural tentar separar as variáveis (colocar todos os termos com y num lado e os com x no outro). Separar variáveis é um método básico e rápido para resolver este tipo de equação. A ideia é manipular a equação de modo que fique algo como g(y)\,dy = h(x)\,dx e então integrar ambos os lados.

Passo 3

Separando as variáveis: dividir ambos os lados por e^{2y} e multiplicar por dx
e^{-2y}\,dy = e^{3x}\,dx.
Explicando cada passo: e^{3x+2y}=e^{3x}e^{2y}. Ao passar e^{2y} para o lado esquerdo fica e^{-2y}dy. Agora temos o produto de uma função de y com dy igual ao produto de uma função de x com dx, pronto para integrar.

Passo 4

Integrando ambos os lados: aplicamos a regra básica de integração \displaystyle\int e^{a t}\,dt = \frac{1}{a}e^{a t} (válida para qualquer constante a\neq0). Assim,
\int e^{-2y}\,dy = \int e^{3x}\,dx.
Calculando cada integral:
\int e^{-2y}\,dy = \frac{1}{-2}e^{-2y} = -\frac{1}{2}e^{-2y}, \qquad \int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x}.
Incluímos a constante de integração em um dos lados; escrevendo o resultado geral:
-\frac{1}{2}e^{-2y} = \frac{1}{3}e^{3x} + C,
onde C é a constante arbitrária.

Passo 5

Isolando e^{-2y}: multiplicando a igualdade por -2 obtemos
e^{-2y} = -\frac{2}{3}e^{3x} + C_1,
onde C_1=-2C é outra constante arbitrária (renomeamos a constante para simplificar a escrita). É comum escrever:
e^{-2y} = C - \frac{2}{3}e^{3x},
onde C é uma constante arbitrária (pode ser qualquer número real tal que o lado direito seja positivo no domínio considerado, já que e^{-2y}>0).

Passo 6

Resolvendo para y: aplicamos o logaritmo natural para “tirar” a exponencial. Como e^{-2y}>0, o lado direito deve ser positivo:
-2y = \ln\!\left(C - \frac{2}{3}e^{3x}\right).
Dividindo por -2 chega-se à forma explícita da solução:
y(x) = -\frac{1}{2}\ln\!\left(C - \frac{2}{3}e^{3x}\right),
com C constante arbitrária que determina o domínio onde a expressão dentro do \ln é positiva.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): calculemos a derivada da solução encontrada para checar se volta à equação original. Se
y = -\tfrac{1}{2}\ln\!\left(C - \tfrac{2}{3}e^{3x}\right),
então, pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx} = -\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{C - \tfrac{2}{3}e^{3x}}\cdot\left(-\tfrac{2}{3}\cdot 3 e^{3x}\right) = \frac{e^{3x}}{C - \tfrac{2}{3}e^{3x}}.
Por outro lado,
e^{3x+2y}=e^{3x}\,e^{2y}=e^{3x}\cdot\frac{1}{C - \tfrac{2}{3}e^{3x}}=\frac{e^{3x}}{C - \tfrac{2}{3}e^{3x}},
que é exatamente \dfrac{dy}{dx}. Portanto a solução está correta. Observe que, se houver uma condição inicial y(x_0)=y_0, basta substituir x=x_0 e y=y_0 na expressão de e^{-2y} para resolver C.

Passo 8

Observações práticas para a prova (dicas rápidas e incentivo): em provas, identifique rapidamente se a RHS pode ser fatorada em função só de x e só de y; isso já indica separação de variáveis. Ao integrar, cuide na hora de isolar a constante (recomendo renomear a constante depois de multiplicar por alguma constante numérica). Respira fundo: seguir os passos com calma normalmente resolve a questão.

Resposta

y(x)=-\dfrac{1}{2}\ln\!\left(C-\dfrac{2}{3}e^{3x}\right)

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