\frac{d y}{d x}=e^{3 x+2 y}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária e pede encontrar a solução geral
:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação relaciona a derivada
com uma função exponencial que depende de e de . - Não foi dada condição inicial; portanto vamos encontrar a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Observação sobre o método (explicação didática e escolha): a expressão do lado direito pode ser fatorada como produto de uma função só de
e outra só de
, porque
Quando a equação tem essa forma é natural tentar separar as variáveis (colocar todos os termos com
num lado e os com
no outro). Separar variáveis é um método básico e rápido para resolver este tipo de equação. A ideia é manipular a equação de modo que fique algo como
e então integrar ambos os lados.
Passo 3
Separando as variáveis: dividir ambos os lados por
e multiplicar por
dá
Explicando cada passo:
. Ao passar
para o lado esquerdo fica
. Agora temos o produto de uma função de
com
igual ao produto de uma função de
com
, pronto para integrar.
Passo 4
Integrando ambos os lados: aplicamos a regra básica de integração
(válida para qualquer constante
). Assim,
Calculando cada integral:
Incluímos a constante de integração em um dos lados; escrevendo o resultado geral:
onde
é a constante arbitrária.
Passo 5
Isolando
: multiplicando a igualdade por
obtemos
onde
é outra constante arbitrária (renomeamos a constante para simplificar a escrita). É comum escrever:
onde
é uma constante arbitrária (pode ser qualquer número real tal que o lado direito seja positivo no domínio considerado, já que
).
Passo 6
Resolvendo para
: aplicamos o logaritmo natural para “tirar” a exponencial. Como
, o lado direito deve ser positivo:
Dividindo por
chega-se à forma explícita da solução:
com
constante arbitrária que determina o domínio onde a expressão dentro do
é positiva.
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): calculemos a derivada da solução encontrada para checar se volta à equação original. Se
então, pela regra da cadeia,
Por outro lado,
que é exatamente
. Portanto a solução está correta. Observe que, se houver uma condição inicial
, basta substituir
e
na expressão de
para resolver
.
Passo 8
Observações práticas para a prova (dicas rápidas e incentivo): em provas, identifique rapidamente se a RHS pode ser fatorada em função só de
e só de
; isso já indica separação de variáveis. Ao integrar, cuide na hora de isolar a constante (recomendo renomear a constante depois de multiplicar por alguma constante numérica). Respira fundo: seguir os passos com calma normalmente resolve a questão.