\frac{d y}{d x}+2 x y^{2}=0
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
e pede para encontrar a solução (não foi dada condição inicial). Informações relevantes que já temos:
-
é função de , logo é a derivada de em relação a . - A equação envolve um termo
que depende só de e um termo que depende só de . - Não há condição inicial, então vamos buscar a solução geral com constante de integração.
Passo 2
Classificação do problema e método: a equação é separável.
O que significa “separável”? Significa que dá para escrever a equação na forma
O que significa “separável”? Significa que dá para escrever a equação na forma
isto é, todos os fatores envolvendo
ficam multiplicando
e todos os fatores envolvendo
ficam multiplicando
. Quando isso é possível, podemos integrar cada lado separadamente para obter a solução.
Passo 3
Colocar a equação na forma separável. Primeiro isolamos
:
Agora dividimos ambos os lados por
(assumindo por enquanto
) e multiplicamos por
para obter os
com
e os
com
:
Explicando:
é o mesmo que
. Separámos as variáveis porque o lado esquerdo depende apenas de
e o direito apenas de
.
Passo 4
Integrar os dois lados. Integramos em
à esquerda e em
à direita:
Calcule as integrais uma a uma:
- Para o lado esquerdo, use a regra
quando . Aqui , então
- Para o lado direito,
.
Incluindo a constante de integração (pode-se colocar uma constante só no lado direito ou diferenças de constantes), obtemos
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 5
Resolver para
. Multiplicamos por
em ambos os lados:
Reescrevendo a constante (trocar o sinal de
por outra constante é comum), chame
. Assim
Finalmente isolamos
:
Observações importantes sobre a solução:
-
é a constante de integração real; ele determina a família de soluções. - O domínio de cada solução é o conjunto de
onde (para evitar divisão por zero). - Há também a solução constante especial
. Verificação rápida: se então e , logo a equação é satisfeita. Essa solução não aparece na forma para nenhum finito, por isso deve ser mencionada separadamente.
Passo 6
Como usar uma condição inicial, se viesse na prova. Se fosse dada uma condição do tipo
com
, determina-se
por
Se a condição inicial for
em algum
, então a única solução que satisfaz isso é a solução trivial
.