\frac{d y}{d x}+2 x y^{2}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
\frac{d y}{d x}+2 x y^{2}=0
e pede para encontrar a solução (não foi dada condição inicial). Informações relevantes que já temos:
  • y é função de x, logo \dfrac{d y}{d x} é a derivada de y em relação a x.
  • A equação envolve um termo 2x que depende só de x e um termo y^{2} que depende só de y.
  • Não há condição inicial, então vamos buscar a solução geral com constante de integração.

Passo 2

Classificação do problema e método: a equação é separável.
O que significa “separável”? Significa que dá para escrever a equação na forma
g(y)\,dy = f(x)\,dx,
isto é, todos os fatores envolvendo y ficam multiplicando dy e todos os fatores envolvendo x ficam multiplicando dx. Quando isso é possível, podemos integrar cada lado separadamente para obter a solução.

Passo 3

Colocar a equação na forma separável. Primeiro isolamos \dfrac{d y}{d x}:
\frac{d y}{d x} = -2x\,y^{2}.
Agora dividimos ambos os lados por y^{2} (assumindo por enquanto y\neq 0) e multiplicamos por dx para obter os y com dy e os x com dx:
y^{-2}\,dy = -2x\,dx.
Explicando: y^{-2} é o mesmo que \dfrac{1}{y^{2}}. Separámos as variáveis porque o lado esquerdo depende apenas de y e o direito apenas de x.

Passo 4

Integrar os dois lados. Integramos em y à esquerda e em x à direita:
\int y^{-2}\,dy = \int -2x\,dx.
Calcule as integrais uma a uma:
  • Para o lado esquerdo, use a regra \int y^{n}\,dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1} quando n\neq -1. Aqui n=-2, então
\int y^{-2}\,dy = \frac{y^{-1}}{-1} = -y^{-1} = -\frac{1}{y}.
  • Para o lado direito, \int -2x\,dx = -2\cdot\frac{x^{2}}{2} = -x^{2}.
Incluindo a constante de integração (pode-se colocar uma constante só no lado direito ou diferenças de constantes), obtemos
-\,\frac{1}{y} = -x^{2} + C,
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 5

Resolver para y. Multiplicamos por -1 em ambos os lados:
\frac{1}{y} = x^{2} - C.
Reescrevendo a constante (trocar o sinal de C por outra constante é comum), chame C_{1} = -C. Assim
\frac{1}{y} = x^{2} + C_{1}.
Finalmente isolamos y:
y(x)=\frac{1}{x^{2}+C_{1}}.
Observações importantes sobre a solução:
  • C_{1} é a constante de integração real; ele determina a família de soluções.
  • O domínio de cada solução é o conjunto de x onde x^{2}+C_{1}\neq 0 (para evitar divisão por zero).
  • Há também a solução constante especial y(x)=0. Verificação rápida: se y\equiv 0 então \dfrac{d y}{d x}=0 e 2x y^{2}=0, logo a equação é satisfeita. Essa solução não aparece na forma \dfrac{1}{x^{2}+C_{1}} para nenhum C_{1} finito, por isso deve ser mencionada separadamente.

Passo 6

Como usar uma condição inicial, se viesse na prova. Se fosse dada uma condição do tipo y(x_{0})=y_{0} com y_{0}\neq 0, determina-se C_{1} por
\frac{1}{y_{0}}=x_{0}^{2}+C_{1}\quad\Rightarrow\quad C_{1}=\frac{1}{y_{0}}-x_{0}^{2}.
Se a condição inicial for y_{0}=0 em algum x_{0}, então a única solução que satisfaz isso é a solução trivial y\equiv 0.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{x^{2}+C}
y(x)=0

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