\frac{d y}{d x}=y\left(x y^{3}-1\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x} = y\bigl(x\,y^{3}-1\bigr)
e pede a solução geral y(x). O conteúdo envolvido é resolução de equações de primeiro ordem não lineares do tipo Bernoulli após uma substituição conveniente.

Passo 2

Note que podemos reescrever
\frac{d y}{d x} = x\,y^{4} - y.
Para simplificar, definimos a nova função
u(x) = y(x)^{3}.
Calculamos então
\frac{d u}{d x} = 3\,y^{2}\,\frac{d y}{d x} = 3\,y^{2}\bigl(x\,y^{4}-y\bigr) = 3\,y^{3}\bigl(x\,y^{3}-1\bigr) = 3\,u\bigl(x\,u-1\bigr).
Logo obtemos a equação para u:
\frac{d u}{d x} = 3\,x\,u^{2} - 3\,u.

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão de Bernoulli, temos
\frac{d u}{d x} + 3\,u = 3\,x\,u^{2}.
Trata-se de uma equação de Bernoulli com expoente n=2. Para linearizar, fazemos a substituição
v(x) = \frac{1}{u(x)}.
Então
\frac{d v}{d x} = -\,u^{-2}\,\frac{d u}{d x}.

Passo 4

Substituindo \dfrac{d u}{d x} = 3\,x\,u^{2}-3\,u em \dfrac{d v}{d x},
\frac{d v}{d x} = -u^{-2}\bigl(3\,x\,u^{2}-3\,u\bigr) = -3\,x +3\,u^{-1} = -3\,x + 3\,v.
Reorganizando, obtemos a equação linear
\frac{d v}{d x} - 3\,v = -3\,x.

Passo 5

Para resolver \dfrac{d v}{d x} - 3\,v = -3\,x, usamos fator integrante \mu(x)=e^{-3x}. Multiplicando em ambos os lados:
e^{-3x}\frac{d v}{d x} - 3\,e^{-3x} v = -3\,x\,e^{-3x},
ou seja
\frac{d}{d x}\bigl(v\,e^{-3x}\bigr) = -3\,x\,e^{-3x}.
Integramos:
v\,e^{-3x} = \int -3\,x\,e^{-3x}\,dx = x\,e^{-3x} + \tfrac{1}{3}e^{-3x} + C.
Multiplicando por e^{3x},
v(x) = x + \tfrac{1}{3} + C\,e^{3x}.

Passo 6

Voltando a u e depois a y:
u(x)=\frac{1}{v(x)}=\frac{1}{x+\tfrac{1}{3}+C\,e^{3x}},
e como u=y^{3}, concluímos
y(x)^{3} = \frac{1}{x+\tfrac{1}{3}+C\,e^{3x}}.
Portanto,
y(x) =\biggl(\frac{1}{x+\tfrac{1}{3}+C\,e^{3x}}\biggr)^{\!1/3},
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x) =\biggl(x+\tfrac{1}{3}+C\,e^{3x}\biggr)^{-\!1/3}.

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