Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}-3 y^{2}}{2 x y}\

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2} - 3y^{2}}{2xy}.
Este é um caso de equação homogênea (mesmo grau no numerador e denominador), que resolve bem com a substituição
v = \frac{y}{x}.

Passo 2

Fazendo y = xv, temos
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação original:
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x^{2} - 3(xv)^{2}}{2x\,(xv)} = \frac{1 - 3v^{2}}{2v}.

Passo 3

Isolamos dv/dx e separamos as variáveis:
x\frac{dv}{dx} = \frac{1 - 3v^{2}}{2v} - v = \frac{1 - 3v^{2} - 2v^{2}}{2v} = \frac{1 - 5v^{2}}{2v},
portanto
\frac{2v}{1 - 5v^{2}}\,dv = \frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos os dois lados:
\int \frac{2v}{1 - 5v^{2}}\,dv = \int \frac{dx}{x}.
No lado esquerdo, use u = 1 - 5v^{2}, du = -10v\,dv, logo
\int \frac{2v}{1 - 5v^{2}}\,dv = \int -\frac{1}{5}\,\frac{du}{u} = -\tfrac{1}{5}\ln\lvert u\rvert + C = -\tfrac{1}{5}\ln\lvert 1 - 5v^{2}\rvert + C.
E no lado direito fica \ln\lvert x\rvert. Então
-\tfrac{1}{5}\ln\lvert 1 - 5v^{2}\rvert = \ln\lvert x\rvert + C.

Passo 5

Voltando a v = \tfrac{y}{x} e reorganizando:
\ln\lvert 1 - 5\,(y/x)^{2}\rvert = -5\ln\lvert x\rvert + C' \quad\Longrightarrow\quad \lvert 1 - 5\frac{y^{2}}{x^{2}}\rvert = C\,x^{-5}.
Multiplicando por x^{2} e depois por x^{3} para simplificar a constante, obtemos a forma implícita mais direta:
x^{5} - 5\,x^{3}y^{2} = C.

Resposta

\displaystyle x^{5} - 5\,x^{3}y^{2} = C, onde C é constante arbitrária.

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