\frac{d}{d x} \operatorname{sinh} ^{-1} x=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de \operatorname{sinh}^{-1}x. O conteúdo envolve derivada de função inversa e identidade hiperbólica \operatorname{cosh}^2y-\operatorname{sinh}^2y=1.

Passo 2

Defina y = \operatorname{sinh}^{-1}x. Por definição de função inversa, isso equivale a
\operatorname{sinh} y = x.
Nosso objetivo é encontrar \frac{dy}{dx}.

Passo 3

Diferencie implicitamente \operatorname{sinh} y = x em relação a x. Usando a regra da cadeia e sabendo que \frac{d}{dy}\operatorname{sinh} y=\operatorname{cosh} y, obtemos
\frac{d}{dx}(\operatorname{sinh} y)=\frac{d}{dx}(x) \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{cosh} y\,\frac{dy}{dx}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\operatorname{cosh} y}.

Passo 4

Agora expresse \operatorname{cosh} y em função de x. Da identidade hiperbólica,
\operatorname{cosh}^2y = 1+\operatorname{sinh}^2y = 1 + x^2,
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\operatorname{cosh} y = \sqrt{1 + x^2}.

Passo 5

Substituindo \operatorname{cosh} y em \frac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}.

Resposta

\frac{d}{dx}\operatorname{sinh}^{-1}x = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}.

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