\frac{d}{d x} \operatorname{cosh} x=\operatorname{sinh} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \frac{d}{dx}\operatorname{cosh} x.
Conteúdo: derivadas de funções hiperbólicas, usando definições em termos de exponenciais e regras básicas de diferenciação (derivada de e^{x} e de e^{-x}, soma e constante).

Passo 2

Escrevemos \operatorname{cosh} x pela definição em termos de exponenciais:
\operatorname{cosh} x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}.

Passo 3

Aplicamos a derivada termo a termo, lembrando que \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e \frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}:
\frac{d}{dx}\operatorname{cosh} x = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{e^{x}}{2}\Bigr) + \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{e^{-x}}{2}\Bigr) = \frac{1}{2}\,e^{x} + \frac{1}{2}\,(-e^{-x}).

Passo 4

Agrupando os termos obtidos:
\frac{d}{dx}\operatorname{cosh} x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2},
e reconhecemos a definição de \operatorname{sinh} x:
\operatorname{sinh} x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}.

Resposta

\frac{d}{dx}\operatorname{cosh} x = \operatorname{sinh} x.

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