\frac{d}{d x} \operatorname{sinh} x=\operatorname{cosh} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de \operatorname{sinh} x em relação a x. O conteúdo aqui é derivação de funções hiperbólicas, e para isso vamos usar a definição de \operatorname{sinh} x em termos de exponenciais e as regras de derivação de e^x.

Passo 2

Começamos pela definição de \operatorname{sinh} x:
\operatorname{sinh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}.

Passo 3

Aplicamos a derivada usando a linearidade e a regra de que \frac{d}{dx}e^{ax}=a\,e^{ax}. Assim,
\frac{d}{dx}\operatorname{sinh} x = \frac{d}{dx}\biggl(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\biggr) = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{d}{dx}e^x - \frac{d}{dx}e^{-x}\Bigr) = \frac{1}{2}\bigl(e^x - (-1)e^{-x}\bigr).

Passo 4

Dentro do parêntese fica e^x + e^{-x}, logo
\frac{d}{dx}\operatorname{sinh} x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}.
Pelo definição de \operatorname{cosh} x, isto é exatamente \operatorname{cosh} x.

Resposta

\displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{sinh} x = \operatorname{cosh} x.

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