Passo 1
O enunciado dá a desigualdade
O que se pede: encontrar todos os valores de
que tornam essa desigualdade verdadeira (ou seja, achar o conjunto solução).
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): para resolver desigualdades com frações é prático eliminar os denominadores primeiro, multiplicando ambos os lados por um número positivo comum (o mínimo múltiplo comum dos denominadores). Como vamos multiplicar por um número positivo, a direção da desigualdade não muda. Observação importante (que você deve lembrar na prova): se multiplicássemos ou dividíssemos por um número negativo, aí sim teríamos que inverter o sinal da desigualdade. Exemplo curto: se
, dividindo por
(número negativo) obtemos
.
Passo 3
Encontre o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores
. O MMC é
. Vamos multiplicar toda a desigualdade por
. Como
, a desigualdade preserva a mesma direção. Multiplicando ambos os lados por
obtemos:
Passo 4
Calcule cada termo após multiplicar por
. Faça termo a termo com cuidado:
-
. -
. Note que esse termo está sendo subtraído originalmente, então mantemos o sinal de subtração. -
. -
.
Substituindo esses resultados na desigualdade:
Passo 5
Simplifique ambos os lados agrupando termos semelhantes:
No lado esquerdo:
No lado esquerdo:
No lado direito:
Então a desigualdade simplificada é
Passo 6
Isole
. Primeiro subtraia
de ambos os lados (isso é permitido e não altera a direção):
Agora some
a ambos os lados:
Finalmente divida ambos os lados por
. Como
, a desigualdade mantém a direção:
Passo 7
Interpretação final e forma intervalar: a solução é todos os
maiores que
. Em decimal aproximado,
. Em notação de intervalo: