\frac{2 x-3}{2}-\frac{3-5 x}{4}>-\frac{2-x}{6}+2

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade
\frac{2x-3}{2}-\frac{3-5x}{4}>-\frac{2-x}{6}+2.
O que se pede: encontrar todos os valores de x que tornam essa desigualdade verdadeira (ou seja, achar o conjunto solução).

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): para resolver desigualdades com frações é prático eliminar os denominadores primeiro, multiplicando ambos os lados por um número positivo comum (o mínimo múltiplo comum dos denominadores). Como vamos multiplicar por um número positivo, a direção da desigualdade não muda. Observação importante (que você deve lembrar na prova): se multiplicássemos ou dividíssemos por um número negativo, aí sim teríamos que inverter o sinal da desigualdade. Exemplo curto: se -2x>4, dividindo por -2 (número negativo) obtemos x< -2.

Passo 3

Encontre o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores 2,4,6. O MMC é 12. Vamos multiplicar toda a desigualdade por 12. Como 12>0, a desigualdade preserva a mesma direção. Multiplicando ambos os lados por 12 obtemos:
12\left(\frac{2x-3}{2}-\frac{3-5x}{4}\right)>12\left(-\frac{2-x}{6}+2\right).

Passo 4

Calcule cada termo após multiplicar por 12. Faça termo a termo com cuidado:
  • 12\cdot\frac{2x-3}{2}=6(2x-3)=12x-18.
  • 12\cdot\frac{3-5x}{4}=3(3-5x)=9-15x. Note que esse termo está sendo subtraído originalmente, então mantemos o sinal de subtração.
  • 12\cdot\left(-\frac{2-x}{6}\right)=-2(2-x)=-4+2x.
  • 12\cdot 2=24.
Substituindo esses resultados na desigualdade:
(12x-18)- (9-15x) > (-4+2x)+24.

Passo 5

Simplifique ambos os lados agrupando termos semelhantes:
No lado esquerdo:
(12x-18)-(9-15x)=12x-18-9+15x=(12x+15x)+(-18-9)=27x-27.
No lado direito:
(-4+2x)+24=2x+20.
Então a desigualdade simplificada é
27x-27>2x+20.

Passo 6

Isole x. Primeiro subtraia 2x de ambos os lados (isso é permitido e não altera a direção):
27x-27-2x>20 \quad\Rightarrow\quad 25x-27>20.
Agora some 27 a ambos os lados:
25x>20+27 \quad\Rightarrow\quad 25x>47.
Finalmente divida ambos os lados por 25. Como 25>0, a desigualdade mantém a direção:
x>\frac{47}{25}.

Passo 7

Interpretação final e forma intervalar: a solução é todos os x maiores que \frac{47}{25}. Em decimal aproximado, \frac{47}{25}=1{,}88. Em notação de intervalo:
\left(\frac{47}{25},\infty\right).

Resposta

x>\dfrac{47}{25}

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