Questão 5. Seja
um número real e considere a função
dada por
a) (
) Determine um valor de
para que a função
seja contínua em
.
b) (1,0 pt) Para
, verifique se existe o limite:
.
b) (1,0 pt) Para
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e ainda afirma a condição
As perguntas são:
a) Determine um valor de para que
seja contínua em
.
b) Para , verifique se existe o limite
.]
a) Determine um valor de
b) Para
Passo 2
Entendendo o que significa ser contínua em
: uma função
é contínua em
quando os dois limites laterais coincidem e esse valor comum é igual a
. Em símbolos:
Aqui
. Primeiro vamos calcular
usando a definição da função (ramo para
):
Calculemos passo a passo:
logo
Passo 3
Agora calcule a \emph{limite pela direita} quando
. Para
usamos o ramo
. Então
Como
é uma função linear (polinomial de grau 1), o limite ao aproximar
por
é obtido substituindo
:
Passo 4
Pela condição de continuidade dada no enunciado, esse limite à direita deve ser igual a
. Ou seja:
Resolve-se essa equação para
:
Portanto o valor que torna
contínua em
é
.
Passo 5
Agora vamos para a parte (b): tomar
(que encontramos no passo anterior) e verificar se
existe. Esse limite é a forma clássica do quociente diferencial (a derivada em
, se existir). Para verificar existência, calculamos os limites laterais do quociente.
Passo 6
Limite pela esquerda (
). Para
usamos
e lembramos
. Então o quociente é
Fatoramos o numerador (diferença de quadrados):
Substituindo:
Para
(situação do quociente) podemos cancelar o fator
:
Assim, para
se aproximando de
pela esquerda, o quociente tende a
Logo o limite à esquerda do quociente é
.
Passo 7
Limite pela direita (
). Com
, para
temos
. O quociente fica
Colocando um fator comum no numerador:
portanto
para todo
no ramo direito. Sendo assim, o limite pela direita é simplesmente o valor constante
Passo 8
Conclusão sobre a existência do limite total: os limites laterais do quociente são diferentes:
Como os dois não coincidem, o limite
não existe. Em linguagem de derivada: a derivada lateral esquerda é
e a derivada lateral direita é
, então
não é diferenciável em
.
Resposta
a)
b) O limite não existe (limite esquerdo
, limite direito
).
b) O limite