Questão 5. Seja b um número real e considere a função f dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}-3, & \text { se } x \leq 2 \\\ b-2 x, & \text { se } x>2 \end{array} \quad \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=f(2)\right.
a) ( 1,0 \mathrm{pt} ) Determine um valor de b para que a função f seja contínua em x=2.
b) (1,0 pt) Para b=5, verifique se existe o limite: \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} x^{2}-3, & \text{se } x\le 2,\\[4pt] b-2x, & \text{se } x>2, \end{cases}
e ainda afirma a condição
\lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^-}f(x)=f(2).
As perguntas são:
a) Determine um valor de b para que f seja contínua em x=2.
b) Para b=5, verifique se existe o limite \displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}.]

Passo 2

Entendendo o que significa ser contínua em x=2: uma função f é contínua em c quando os dois limites laterais coincidem e esse valor comum é igual a f\text{(c)}. Em símbolos:
\lim_{x\to c^-}f(x)=\lim_{x\to c^+}f(x)=f\text{(c)}.
Aqui c=2. Primeiro vamos calcular f(2) usando a definição da função (ramo para x\le2):
f(2)=2^{2}-3.
Calculemos passo a passo:
2^{2}=4,\quad 4-3=1,
logo
f(2)=1.

Passo 3

Agora calcule a \emph{limite pela direita} quando x\to2^+. Para x>2 usamos o ramo f(x)=b-2x. Então
\lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+}(b-2x).
Como b-2x é uma função linear (polinomial de grau 1), o limite ao aproximar x por 2 é obtido substituindo x=2:
\lim_{x\to 2^+}(b-2x)=b-2\cdot 2=b-4.

Passo 4

Pela condição de continuidade dada no enunciado, esse limite à direita deve ser igual a f(2). Ou seja:
b-4=f(2)=1.
Resolve-se essa equação para b:
b-4=1 \implies b=1+4=5.
Portanto o valor que torna f contínua em x=2 é b=5.

Passo 5

Agora vamos para a parte (b): tomar b=5 (que encontramos no passo anterior) e verificar se
\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}
existe. Esse limite é a forma clássica do quociente diferencial (a derivada em x=2, se existir). Para verificar existência, calculamos os limites laterais do quociente.

Passo 6

Limite pela esquerda ( x\to 2^-). Para x<2 usamos f(x)=x^{2}-3 e lembramos f(2)=1. Então o quociente é
\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{x^{2}-3-1}{x-2}=\frac{x^{2}-4}{x-2}.
Fatoramos o numerador (diferença de quadrados):
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Substituindo:
\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}.
Para x\neq 2 (situação do quociente) podemos cancelar o fator x-2:
\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2.
Assim, para x se aproximando de 2 pela esquerda, o quociente tende a
\lim_{x\to 2^-}(x+2)=2+2=4.
Logo o limite à esquerda do quociente é 4.

Passo 7

Limite pela direita ( x\to 2^+). Com b=5, para x>2 temos f(x)=5-2x. O quociente fica
\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{5-2x-1}{x-2}=\frac{4-2x}{x-2}.
Colocando um fator comum no numerador:
4-2x=-2(x-2),
portanto
\frac{4-2x}{x-2}=\frac{-2(x-2)}{x-2}=-2
para todo x\neq 2 no ramo direito. Sendo assim, o limite pela direita é simplesmente o valor constante
\lim_{x\to 2^+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=-2.

Passo 8

Conclusão sobre a existência do limite total: os limites laterais do quociente são diferentes:
\lim_{x\to 2^-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=4\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 2^+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=-2.
Como os dois não coincidem, o limite \displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} não existe. Em linguagem de derivada: a derivada lateral esquerda é 4 e a derivada lateral direita é -2, então f não é diferenciável em x=2.

Resposta

a) b=5
b) O limite \displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} não existe (limite esquerdo =4, limite direito =-2).

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