Questão 4. Considere a função
dada por
(
) Encontre todas as assíntotas verticais do gráfico da função
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pergunta: “Encontre todas as assíntotas verticais do gráfico da função
.”
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é uma fração cujo numerador é
e cujo denominador é . - Pontos onde o denominador se anula (ou seja, onde
) são candidatos a problemas no gráfico (valores que não estão no domínio). - Não há outras expressões ou figuras adicionais no enunciado.
Passo 2
O que é uma assíntota vertical (explicação didática)?
- Dizemos que
é uma assíntota vertical de se pelo menos uma das limites laterais divergir para infinito, ou seja se
- Intuição: quando o denominador de uma fração tende a zero enquanto o numerador tende a um número finito não nulo, a razão fica muito grande em módulo (vai para
ou ). Isso cria o “pavio” do gráfico que sobe ou desce infinitamente perto de . - Observação importante para provas: sempre cheque se o zero do denominador é “cortado” por um zero do numerador (cancelamento). Se houver cancelamento (mesmo fator aparece no numerador e denominador), pode ser uma descontinuidade removível (buraco) e não uma assíntota vertical.
Passo 3
Ache os pontos onde o denominador se anula (candidatos a assíntota):
Resolver . Logo
Resolver
é o único ponto onde o denominador some. Portanto o domínio de
é todos os reais exceto
.
Passo 4
Verifique se há cancelamento (zero comum em numerador e denominador):
Calcule o valor do numerador em :
Calcule o valor do numerador em
Como
, o numerador não se anula em
. Conclusão: não há fator comum
para cancelar. Então o ponto
não é uma descontinuidade removível (buraco); é candidato a assíntota vertical.
(Exemplo extra rápido para fixar: se tivéssemos
, aí o numerador e o denominador se anulam em
e a expressão simplifica para
exceto que em
existe um buraco — não é assíntota vertical.)
Passo 5
Estude os limites laterais em
para confirmar a assíntota e saber o sinal (didática passo a passo):
- Observe que perto de
o numerador tende a , um número finito e negativo. - Para
(chegando por valores maiores que ), o denominador é uma pequena quantidade positiva. Assim a fração é aproximadamente , logo tende para . Formalmente:
- Para
(chegando por valores menores que ), o denominador é uma pequena quantidade negativa. Assim a fração é aproximadamente , logo tende para . Formalmente:
- Como pelo menos uma (na verdade ambas) das limites laterais divergem para infinito, isso confirma que
é uma assíntota vertical.
Passo 6
Conclusão final e dica para prova:
- Há exatamente uma assíntota vertical:
.
Dica prática para a hora da prova: sempre (1) identifique zeros do denominador, (2) cheque se o numerador também se anula aí (cancelamento), e (3) calcule os limites laterais — se o numerador for finito e não nulo e o denominador tende a, a assíntota vertical está garantida.