Questão 4. Considere a função f dada por
f(x)=\frac{3 x-7}{x+2}
( 1,0 \mathrm{pt} ) Encontre todas as assíntotas verticais do gráfico da função f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{3x-7}{x+2}
e pergunta: “Encontre todas as assíntotas verticais do gráfico da função f.”
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é uma fração cujo numerador é 3x-7 e cujo denominador é x+2.
  • Pontos onde o denominador se anula (ou seja, onde x+2=0) são candidatos a problemas no gráfico (valores que não estão no domínio).
  • Não há outras expressões ou figuras adicionais no enunciado.

Passo 2

O que é uma assíntota vertical (explicação didática)?
  • Dizemos que x=a é uma assíntota vertical de f se pelo menos uma das limites laterais divergir para infinito, ou seja se
\lim_{x\to a^-} f(x)=\pm\infty\quad\text{ou}\quad \lim_{x\to a^+} f(x)=\pm\infty.
  • Intuição: quando o denominador de uma fração tende a zero enquanto o numerador tende a um número finito não nulo, a razão fica muito grande em módulo (vai para +\infty ou -\infty). Isso cria o “pavio” do gráfico que sobe ou desce infinitamente perto de x=a.
  • Observação importante para provas: sempre cheque se o zero do denominador é “cortado” por um zero do numerador (cancelamento). Se houver cancelamento (mesmo fator aparece no numerador e denominador), pode ser uma descontinuidade removível (buraco) e não uma assíntota vertical.

Passo 3

Ache os pontos onde o denominador se anula (candidatos a assíntota):
Resolver x+2=0. Logo
x=-2
é o único ponto onde o denominador some. Portanto o domínio de f é todos os reais exceto x=-2.

Passo 4

Verifique se há cancelamento (zero comum em numerador e denominador):
Calcule o valor do numerador em x=-2:
3(-2)-7=-6-7=-13.
Como -13\neq 0, o numerador não se anula em x=-2. Conclusão: não há fator comum (x+2) para cancelar. Então o ponto x=-2 não é uma descontinuidade removível (buraco); é candidato a assíntota vertical.
(Exemplo extra rápido para fixar: se tivéssemos \frac{x-1}{x-1}, aí o numerador e o denominador se anulam em x=1 e a expressão simplifica para 1 exceto que em x=1 existe um buraco — não é assíntota vertical.)

Passo 5

Estude os limites laterais em x=-2 para confirmar a assíntota e saber o sinal (didática passo a passo):
  • Observe que perto de x=-2 o numerador tende a -13, um número finito e negativo.
  • Para x\to -2^+ (chegando por valores maiores que -2), o denominador x+2 é uma pequena quantidade positiva. Assim a fração é aproximadamente \frac{\text{negativo}}{\text{positivo pequeno}}, logo tende para -\infty. Formalmente:
\lim_{x\to -2^+} f(x) = \lim_{x\to -2^+} \frac{3x-7}{x+2} = \frac{-13}{0^+} = -\infty.
  • Para x\to -2^- (chegando por valores menores que -2), o denominador x+2 é uma pequena quantidade negativa. Assim a fração é aproximadamente \frac{\text{negativo}}{\text{negativo pequeno}}, logo tende para +\infty. Formalmente:
\lim_{x\to -2^-} f(x) = \lim_{x\to -2^-} \frac{3x-7}{x+2} = \frac{-13}{0^-} = +\infty.
  • Como pelo menos uma (na verdade ambas) das limites laterais divergem para infinito, isso confirma que x=-2 é uma assíntota vertical.

Passo 6

Conclusão final e dica para prova:
  • Há exatamente uma assíntota vertical: x=-2.
    Dica prática para a hora da prova: sempre (1) identifique zeros do denominador, (2) cheque se o numerador também se anula aí (cancelamento), e (3) calcule os limites laterais — se o numerador for finito e não nulo e o denominador tende a 0^\pm, a assíntota vertical está garantida.

Resposta

\,x=-2

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