e^{\frac{y}{x}}+y^{\prime}-\frac{y}{x}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e^{\frac{y}{x}} + y' - \frac{y}{x} = 0
que não é linear em y, mas sugere a substituição u = \tfrac{y}{x}. Vamos usar essa mudança de variável para transformar em uma equação separável.

Passo 2

Definindo
u = \frac{y}{x},
temos y = u\,x e, por derivação,
y' = u + x\,u'.
Substituindo em
e^{\frac{y}{x}} + y' - \frac{y}{x} = 0
vem
e^{u} + \bigl(u + x\,u'\bigr) - u = 0
ou seja
e^{u} + x\,u' = 0.

Passo 3

Reescrevendo para separar variáveis:
x\,u' = -e^{u} \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx} = -\frac{e^{u}}{x} \quad\Longrightarrow\quad e^{-u} \,du = -\frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int e^{-u}\,du = \int -\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad -\,e^{-u} = -\ln\lvert x\rvert + C
onde C é constante de integração. Logo
e^{-u} = \ln\lvert x\rvert + C_1,
com C_1=-C.

Passo 4

Voltando a y pela relação u = \tfrac{y}{x}, obtemos a solução implícita
e^{-\frac{y}{x}} = \ln\lvert x\rvert + C_1.
Se preferir a forma explícita em y, isolamos:
-\frac{y}{x} = \ln\bigl(\ln\lvert x\rvert + C_1\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = -\,x\,\ln\bigl(\ln\lvert x\rvert + C_1\bigr).

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
e^{-\frac{y}{x}} = \ln\lvert x\rvert + C_1
ou, explicitamente,
y = -\,x\,\ln\bigl(\ln\lvert x\rvert + C_1\bigr),
onde C_1 é constante de integração.

Exercícios relacionados