1. Qual fração irredutível equivale a setenta e quatro cento e onze avos?

Passo 1

O enunciado pergunta qual fração irredutível é equivalente a “setenta e quatro cento e onze avos”. As informações dadas são:
  • A fração dada é \dfrac{74}{711}.
    O que se pede:
  • Encontrar uma fração equivalente a \dfrac{74}{711} que esteja em forma irredutível (ou seja, sem fatores comuns entre numerador e denominador).

Passo 2

O que significa “fração irredutível”?
Uma fração \dfrac{a}{b} é irredutível quando o numerador a e o denominador b não têm nenhum divisor inteiro comum além de 1. Em linguagem matemática: \gcd(a,b)=1, onde \gcd é o máximo divisor comum (MDC, ou GCD em inglês).

Passo 3

Como encontrar se \dfrac{74}{711} é irredutível? Vou usar o Algoritmo de Euclides para calcular \gcd(74,711). Regra do algoritmo: se a e b são inteiros com a>b, escrever a=b\cdot q + r (divisão com resto) e então \gcd(a,b)=\gcd(b,r). Repetir até o resto ser zero; o último resto não nulo é o MDC.

Passo 4

Aplicando o Algoritmo de Euclides aos números \,711 e \,74:
711 = 74\cdot 9 + 45
74 = 45\cdot 1 + 29
45 = 29\cdot 1 + 16
29 = 16\cdot 1 + 13
16 = 13\cdot 1 + 3
13 = 3\cdot 4 + 1
3 = 1\cdot 3 + 0
A última resto não nulo é 1. Portanto \gcd(74,711)=1. Como o máximo divisor comum é 1, a fração \dfrac{74}{711} já está em sua forma irredutível; não é possível simplificá-la.

Passo 5

Pequeno exemplo extra (para fixar a ideia): para reduzir \dfrac{24}{36} usa-se o Algoritmo de Euclides e encontra-se \gcd(24,36)=12, então \dfrac{24}{36}=\dfrac{24\div 12}{36\div 12}=\dfrac{2}{3}. A mesma ideia se aplica aqui.
Dica para a prova: quando precisar simplificar uma fração, tente primeiro divisores pequenos (2, 3, 5) e, se não for óbvio, aplique o Algoritmo de Euclides — ele é rápido e seguro mesmo quando os números não têm fatores pequenos em comum. Força aí, você consegue!

Resposta

\dfrac{74}{711}

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