Calcule a integral dupla
integralR integral x y d A
onde R é a região do plano Cartesiano delimitada pelos gráficos das curvas y=x^2 e y=x^3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR x y ,dA, onde a região R é delimitada pelas curvas y = x^2 e y = x^3. O tema aqui é integral dupla num plano, e vamos precisar: 1) achar onde essas curvas se cruzam; 2) descrever a região em termos de x e y; 3) montar a integral iterada e 4) calcular.

Passo 2

Primeiro, identificamos os pontos de interseção das curvas y = x^2 e y = x^3. Igualamos:
x^2 = x^3 Longrightarrow x^2(x-1)=0 Longrightarrow x=0 ou x=1

Passo 3

Como no intervalo [0,1] temos x^3<= x^2, a região R pode ser descrita por 0<= x<=1 e, para cada x, x^3<= y<= x^2. Montamos a integral iterada em ordem dy,dx:
integral duplaR x y ,dA = integralx=0^1l[integraly=x^3^x^2 x,y ,dyr]dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integraly=x^3^x^2 x,y ,dy = xintegralx^3^x^2y,dy = x[y^22]y=x^3^y=x^2 = x(x^42-x^62) = 12l(x^5 - x^7r)

Passo 5

Agora integramos em x:
integral0^1 12l(x^5 - x^7r)dx = 12[x^66 - x^88]0^1 = 12l(tfrac16-tfrac18r) = 12cdot 124 = 148

Resposta

148

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