Calcule a integral dupla
integralR integral x y^3 d A
onde R é a região do 1o quadrante do plano Cartesiano delimitada pela reta y=x e pela circunferência x^2+y^2=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR x,y^3,dA, onde R é a região do 1º quadrante limitada pela reta y=x e pela circunferência x^2+y^2=4. O conteúdo é mudança para coordenadas polares e uso do Jacobiano. Vamos precisar:• Descrever R em polares (enquadrando o 1º quadrante e a reta y=x correspondendo a um ângulo constante).• Reescrever x,y^3,dA em termos de r e theta.• Integrar em r e theta.

Passo 2

Na coordenada polar usamos as relações x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta. No 1º quadrante temos 0<=theta<=tfracpi2 e a reta y=x theta=tfracpi4. Como queremos a parte de R “acima” de y=x em relação ao eixo x, ficamos com
0<= r<= 2, tfracpi4<=theta<=tfracpi2

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando fica
x,y^3,dA=(rcostheta),(rsintheta)^3,r,dr,dtheta = r^5costheta,sin^3theta,dr,dtheta

Passo 4

Agora separamos a integral em produto de parte radial e parte angular:
$$\iint_{R}x,y^{3},dA = \int_{\theta=\pi/4}{\pi/2}\int_{r=0}{2}r{5}\cos\theta,\sin{3}\theta,dr,d\theta.
$$

Passo 5

Integramos primeiro em r:
$$\int_{0}{2}r{5},dr = \left[\frac{r{6}}{6}\right]_{0}{2} = \frac{2^{6}}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}.
$$

Passo 6

Fica então
$$\frac{32}{3}\int_{\pi/4}{\pi/2}\cos\theta,\sin{3}\theta,d\theta.
$$

Passo 7

Para a parte angular fazemos u=sintheta, então du=costheta,dtheta. Quando theta=pi/4, u=tfracraiz22; quando theta=pi/2, u=1. Assim
$$\int_{\pi/4}{\pi/2}\cos\theta,\sin{3}\theta,d\theta = \int_{u=\tfrac{\sqrt2}{2}}{1}u{3},du = \left[\frac{u{4}}{4}\right]_{\tfrac{\sqrt2}{2}}{1} = \frac{1}{4}-\frac{(\tfrac{\sqrt2}{2})^{4}}{4} = \frac{1}{4}-\frac{1}{16} = \frac{3}{16}.
$$

Passo 8

Multiplicando pelas constantes, obtemos
$$\frac{32}{3}\cdot\frac{3}{16} = 2.
$$

Resposta

2

Exercícios relacionados