Calcule a integral dupla
onde
é a região do 1o quadrante do plano Cartesiano delimitada pela reta
e pela circunferência
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde
é a região do 1º quadrante limitada pela reta
e pela circunferência
. O conteúdo é mudança para coordenadas polares e uso do Jacobiano. Vamos precisar:• Descrever
em polares (enquadrando o 1º quadrante e a reta
correspondendo a um ângulo constante).• Reescrever
em termos de
e
.• Integrar em
e
.
Passo 2
Na coordenada polar usamos as relações
,
e
. No 1º quadrante temos
e a reta
dá
. Como queremos a parte de
“acima” de
em relação ao eixo
, ficamos com
Passo 3
Substituindo na integral, o integrando fica
Passo 4
Agora separamos a integral em produto de parte radial e parte angular:
$$\iint_{R}x,y^{3},dA = \int_{\theta=\pi/4}{\pi/2}\int_{r=0}{2}r{5}\cos\theta,\sin{3}\theta,dr,d\theta.
$$
Passo 5
Integramos primeiro em
:
$$\int_{0}{2}r{5},dr = \left[\frac{r{6}}{6}\right]_{0}{2} = \frac{2^{6}}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}.
$$
Passo 6
Fica então
$$\frac{32}{3}\int_{\pi/4}{\pi/2}\cos\theta,\sin{3}\theta,d\theta.
$$
Passo 7
Para a parte angular fazemos
, então
. Quando
,
; quando
,
. Assim
$$\int_{\pi/4}{\pi/2}\cos\theta,\sin{3}\theta,d\theta = \int_{u=\tfrac{\sqrt2}{2}}{1}u{3},du = \left[\frac{u{4}}{4}\right]_{\tfrac{\sqrt2}{2}}{1} = \frac{1}{4}-\frac{(\tfrac{\sqrt2}{2})^{4}}{4} = \frac{1}{4}-\frac{1}{16} = \frac{3}{16}.
$$
Passo 8
Multiplicando pelas constantes, obtemos
$$\frac{32}{3}\cdot\frac{3}{16} = 2.
$$
Resposta
2