Um frasco que possui volume igual a 1000,0 \mathrm{~cm}^{3} a 0,0^{\circ} \mathrm{C} está completamente cheio de mercúrio com esta mesma temperatura. Quando o sistema é aquecido até 89,1^{\circ} \mathrm{C}, um volume de 3,9 \mathrm{~cm}^{3} de mercúrio transborda. Sabendo que o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio é igual a 18,0 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}, calcule o coeficiente de dilatação linear do material do frasco.
** Apresente resultado em 10^{-5} /{ }^{\circ} \mathrm{C}, com duas casas decimais.
Resposta: □ 58,50 ×

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Volume inicial do frasco (e do mercúrio) a \,0,0^\circ\mathrm{C}\,: \;V_0 = 1000{,}0\\ \mathrm{cm}^3.
  • Temperatura final: \;T_f = 89{,}1^\circ\mathrm{C}.
    Portanto a variação de temperatura é \;\Delta T = T_f - 0,0^\circ\mathrm{C} = 89{,}1^\circ\mathrm{C}.
  • Volume de mercúrio que transborda ao aquecer: \;V_{\text{trans}} = 3{,}9\\ \mathrm{cm}^3.
  • Coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio: \;\beta_{\text{Hg}} = 18{,}0\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
O que se pede:
  • Calcular o coeficiente de dilatação linear \alpha do material do frasco.
    Resultado pedido: expresso em 10^{-5}\\ /\!{ }^\circ\mathrm{C}, com duas casas decimais.

Passo 2

Entendendo fisicamente o problema (fórmulas e ideia):
  • Quando um volume V_0 de um líquido com coeficiente volumétrico \beta é aquecido de \Delta T, o aumento de volume (para pequenas variações) é dado por
\Delta V = V_0\,\beta\,\Delta T.
Aqui: \beta_{\text{Hg}} é para o mercúrio e dá quanto o mercúrio cresceria se o frasco fosse rígido.
  • O frasco também se expande. Para um corpo sólido isotrópico e de pequena dilatação, o coeficiente volumétrico do sólido é aproximadamente
\beta_{\text{fr}} \approx 3\alpha,
onde \alpha é o coeficiente linear do material do frasco. Assim, a capacidade (volume interno) do frasco aumenta, aproximadamente, em
\Delta V_{\text{fr}} = V_0\,\beta_{\text{fr}}\,\Delta T \approx V_0\,(3\alpha)\,\Delta T.
  • Como o frasco começou exatamente cheio, o volume que transborda é a diferença entre a expansão do mercúrio e a expansão do volume interno do frasco:
V_{\text{trans}} = \Delta V_{\text{Hg}} - \Delta V_{\text{fr}}.

Passo 3

Montando a equação e isolando \alpha:
Escrevendo cada termo:
\Delta V_{\text{Hg}} = V_0\,\beta_{\text{Hg}}\,\Delta T, \qquad \Delta V_{\text{fr}} = V_0\,(3\alpha)\,\Delta T.
Portanto
V_{\text{trans}} = V_0\big(\beta_{\text{Hg}} - 3\alpha\big)\Delta T.
Isolando \alpha:
3\alpha = \beta_{\text{Hg}} - \frac{V_{\text{trans}}}{V_0\,\Delta T}, \qquad\text{logo}\qquad \alpha = \dfrac{1}{3}\left(\beta_{\text{Hg}} - \frac{V_{\text{trans}}}{V_0\,\Delta T}\right).

Passo 4

Calcular o termo \dfrac{V_{\text{trans}}}{V_0\,\Delta T} com os números dados:
\Delta T = 89{,}1^\circ\mathrm{C},\qquad V_0 = 1000{,}0\\ \mathrm{cm}^3,\qquad V_{\text{trans}} = 3{,}9\\ \mathrm{cm}^3.
\frac{V_{\text{trans}}}{V_0\,\Delta T} = \frac{3{,}9}{1000{,}0\times 89{,}1} = \frac{3{,}9}{89100} = 0{,}00004377104377\ldots
Ou seja,
\frac{V_{\text{trans}}}{V_0\,\Delta T}\approx 4{,}377104377\times10^{-5}.

Passo 5

Substituir na fórmula de \alpha:
\beta_{\text{Hg}} = 18{,}0\times10^{-5} = 0{,}00018.
Logo
\alpha = \frac{1}{3}\!\left(0{,}00018 - 0{,}00004377104377\ldots\right) = \frac{1}{3}\times 0{,}00013622895623\ldots
\alpha \approx 0{,}00004540965208\\ \\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 6

Expressão no formato pedido e arredondamento:
Querem o resultado em unidades de 10^{-5}/^\circ\mathrm{C} com duas casas decimais. Escrevendo \alpha como
\alpha = 4{,}540965208\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1},
arredondando para duas casas decimais no coeficiente multiplicador em 10^{-5}
\alpha = 4{,}54\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Resposta

4{,}54\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}

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