Um termômetro de resistência, que mede a temperatura medindo a mudança de resistência de um condutor, é feito de Platina e tem uma resistência de 50 \Omega a 20 { }^{\circ} \mathrm{C}. Quando o termômetro é imerso em um recipiente, sua resistência aumenta para 76,8 \Omega. Calcule a temperatura do recipiente que foi imerso o termômetro. (dado: \alpha =3,92 \times 10^{-3}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ).

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pede: determinar a temperatura do recipiente em que o termômetro foi imerso (temperatura final).
  • Dados fornecidos:
    • Resistência inicial do termômetro a \,20^\circ\mathrm{C}: \,R_0 = 50\\ \Omega.
    • Resistência medida no recipiente: \,R = 76{,}8\\ \Omega.
    • Coeficiente de temperatura da platina: \,\alpha = 3{,}92\times 10^{-3}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Informação implícita: a relação entre resistência e temperatura segue a dependência linear típica para termômetros de resistência (para variações não muito grandes).

Passo 2

Explicando a fórmula que vamos usar (aula rápida e didática).
  • O coeficiente de temperatura \,\alpha diz quanto a resistência varia, em fração da resistência, por grau Celsius. Em palavras: se a temperatura sobe \,1^\circ\mathrm{C}, a resistência aumenta em uma fração \,\alpha da resistência à temperatura de referência.
  • A relação linear (aproximação usual) entre resistência e temperatura é:
R = R_0\bigl(1 + \alpha (T - T_0)\bigr),
onde:
  • \,R é a resistência à temperatura \,T (o que queremos encontrar),
  • \,R_0 é a resistência conhecida à temperatura de referência \,T_0,
  • \,\alpha é o coeficiente de temperatura,
  • \,T - T_0 é a variação de temperatura.
  • Essa fórmula é fácil de entender: \,(R-R_0)/R_0 = \alpha (T-T_0) é a fração de variação da resistência igual a \alpha vezes a variação de temperatura.

Passo 3

Isolar a temperatura \,T na fórmula (álgebra passo a passo).
Partimos de
R = R_0\bigl(1 + \alpha (T - T_0)\bigr).
Dividindo ambos os lados por \,R_0:
\frac{R}{R_0} = 1 + \alpha (T - T_0).
Subtraindo 1 dos dois lados:
\frac{R}{R_0} - 1 = \alpha (T - T_0).
Isolando \,T:
T = T_0 + \frac{\dfrac{R}{R_0} - 1}{\alpha}.
Essa é a expressão que vamos usar com os números do problema.

Passo 4

Substituir os valores numéricos e calcular com passos que dê pra fazer na prova sem calculadora avançada.
  • Calcular a razão \dfrac{R}{R_0}:
\frac{R}{R_0}=\frac{76{,}8}{50}=1{,}536.
  • Subtrair 1:
\frac{R}{R_0}-1=1{,}536-1=0{,}536.
  • Dividir por \alpha:
\frac{0{,}536}{\alpha}=\frac{0{,}536}{3{,}92\times 10^{-3}}.
Para facilitar a conta, multiplica numerador e denominador por 1000:
\frac{0{,}536}{3{,}92\times 10^{-3}}=\frac{536}{3{,}92}.
Agora dividir 536 por 3{,}92. Fazendo a divisão (ou usando uma calculadora simples) obtém-se
\frac{536}{3{,}92}\approx 136{,}7346939\ldots
  • Finalmente somar a temperatura de referência \,T_0=20^\circ\mathrm{C}:
T = 20 + 136{,}7346939\ldots \approx 156{,}7346939\ldots\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Verificação rápida (checagem de consistência):
  • Calcular de volta \,R_0\bigl(1+\alpha (T-T_0)\bigr) usando \,T-T_0\approx 136{,}7347^\circ\mathrm{C}:
50\bigl(1+3{,}92\times 10^{-3}\times 136{,}7347\bigr)\approx 50(1+0{,}536)=50\times 1{,}536=76{,}8\\ \Omega,
o que confere com a resistência medida. Boa sinal — cálculo correto!

Resposta

156{,}7^\circ\mathrm{C}

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