Duas ondas senoidais são descritas pelas seguintes funções:
Calcule a onda resultante da superposição dessas duas ondas.
Calcule a onda resultante da superposição dessas duas ondas.
Passo 1
O enunciado dá duas ondas senoidais e pede a onda resultante da sua superposição. As informações fornecidas são:
-
. -
.
O que se pede:
- Calcular
, isto é, escrever a soma como uma única senoide do tipo (se possível), determinando e .
Passo 2
Vamos aproveitar que as duas senóides têm exatamente a mesma dependência em
e
(o argumento base
é comum). Para facilitar os cálculos, defino a notação
Então
Passo 3
Vou usar a identidade de soma de ângulos para seno:
Aplicando em cada termo:
Para
:
Sabendo
e
, temos
Para
:
Sabendo
e
, temos
Passo 4
Somando
e
obtemos a forma
:
Para ficar mais claro, coloquei os coeficientes em forma comum com denominador
:
Passo 5
Agora usamos a identidade que permite escrever
como uma única senoide:
onde
Vou calcular
exatamente. Com
e
,
Expandindo:
logo
Portanto o módulo (amplitude) exato é
Numericamente,
Passo 6
Agora determinamos
. Usamos
com os valores encontrados. Como
e
, o ângulo
está no segundo quadrante (entre
e
). Uma forma prática é calcular
ou ajustar a arctan padrão. Numericamente:
Isso dá
Se for preferível uma expressão exata para
, pode-se escrever
levando em conta que houve ajuste de
porque
.
Passo 7
Portanto a onda resultante pode ser escrita de forma exata como
com
Ou, em forma aproximada numérica,