Duas ondas senoidais são descritas pelas seguintes funções:
y 1=4 \cdot \operatorname{sen}(4 x+3 t+(2 \pi / 3)) ; y 2=3 \cdot \operatorname{sen}(4 x+3 t+(5 \pi / 6))
Calcule a onda resultante da superposição dessas duas ondas.

Passo 1

O enunciado dá duas ondas senoidais e pede a onda resultante da sua superposição. As informações fornecidas são:
  • y_1 = 4 \cdot \operatorname{sen}\!\bigl(4x + 3t + \tfrac{2\pi}{3}\bigr).
  • y_2 = 3 \cdot \operatorname{sen}\!\bigl(4x + 3t + \tfrac{5\pi}{6}\bigr).
O que se pede:
  • Calcular y_{\text{res}} = y_1 + y_2, isto é, escrever a soma como uma única senoide do tipo A \operatorname{sen}\!\bigl(4x + 3t + \varphi\bigr) (se possível), determinando A e \varphi.

Passo 2

Vamos aproveitar que as duas senóides têm exatamente a mesma dependência em x e t (o argumento base 4x+3t é comum). Para facilitar os cálculos, defino a notação
\theta = 4x + 3t.
Então
y_1 = 4\operatorname{sen}\!\left(\theta + \tfrac{2\pi}{3}\right),\qquad y_2 = 3\operatorname{sen}\!\left(\theta + \tfrac{5\pi}{6}\right).

Passo 3

Vou usar a identidade de soma de ângulos para seno:
\operatorname{sen}(\theta+\alpha)=\operatorname{sen}\theta\cos\alpha+\cos\theta\operatorname{sen}\alpha.
Aplicando em cada termo:
Para y_1:
\operatorname{sen}\!\left(\theta+\tfrac{2\pi}{3}\right)=\operatorname{sen}\theta\cos\!\tfrac{2\pi}{3}+\cos\theta\operatorname{sen}\!\tfrac{2\pi}{3}.
Sabendo \cos\!\tfrac{2\pi}{3}=-\tfrac{1}{2} e \operatorname{sen}\!\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, temos
y_1 = 4\Bigl(\operatorname{sen}\theta\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)+\cos\theta\cdot\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)\Bigr) = -2\operatorname{sen}\theta + 2\sqrt{3}\cos\theta.
Para y_2:
\operatorname{sen}\!\left(\theta+\tfrac{5\pi}{6}\right)=\operatorname{sen}\theta\cos\!\tfrac{5\pi}{6}+\cos\theta\operatorname{sen}\!\tfrac{5\pi}{6}.
Sabendo \cos\!\tfrac{5\pi}{6}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \operatorname{sen}\!\tfrac{5\pi}{6}=\tfrac{1}{2}, temos
y_2 = 3\Bigl(\operatorname{sen}\theta\cdot\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)+\cos\theta\cdot\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)\Bigr) = -\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\operatorname{sen}\theta + \tfrac{3}{2}\cos\theta.

Passo 4

Somando y_1 e y_2 obtemos a forma a\operatorname{sen}\theta + b\cos\theta:
y_{\text{res}} = \Bigl(-2 - \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\Bigr)\operatorname{sen}\theta \;+\; \Bigl(2\sqrt{3} + \tfrac{3}{2}\Bigr)\cos\theta.
Para ficar mais claro, coloquei os coeficientes em forma comum com denominador 2:
a = -2 - \tfrac{3\sqrt{3}}{2} = -\frac{4 + 3\sqrt{3}}{2},\qquad b = 2\sqrt{3} + \tfrac{3}{2} = \frac{4\sqrt{3} + 3}{2}.

Passo 5

Agora usamos a identidade que permite escrever a\operatorname{sen}\theta + b\cos\theta como uma única senoide:
a\operatorname{sen}\theta + b\cos\theta = R\operatorname{sen}(\theta+\varphi),
onde
R = \sqrt{a^2 + b^2},\qquad \cos\varphi = \frac{a}{R},\qquad \operatorname{sen}\varphi = \frac{b}{R}.
Vou calcular R exatamente. Com a=\dfrac{-(4+3\sqrt{3})}{2} e b=\dfrac{4\sqrt{3}+3}{2},
R^2 = a^2 + b^2 = \frac{(4+3\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3}+3)^2}{4}.
Expandindo:
(4+3\sqrt{3})^2 = 43 + 24\sqrt{3},\qquad (4\sqrt{3}+3)^2 = 57 + 24\sqrt{3},
logo
R^2 = \frac{(43+24\sqrt{3})+(57+24\sqrt{3})}{4} = \frac{100 + 48\sqrt{3}}{4} = 25 + 12\sqrt{3}.
Portanto o módulo (amplitude) exato é
R = \sqrt{25 + 12\sqrt{3}}.
Numericamente,
R \approx 6{,}767\quad(\text{duas casas significativas: }6{,}77).

Passo 6

Agora determinamos \varphi. Usamos
\cos\varphi = \frac{a}{R},\qquad \operatorname{sen}\varphi = \frac{b}{R},
com os valores encontrados. Como a<0 e b>0, o ângulo \varphi está no segundo quadrante (entre \tfrac{\pi}{2} e \pi). Uma forma prática é calcular
\varphi = \operatorname{atan2}(b,a),
ou ajustar a arctan padrão. Numericamente:
\cos\varphi \approx \frac{-4{,}5980762}{6{,}767} \approx -0{,}679,\qquad \operatorname{sen}\varphi \approx \frac{4{,}9641016}{6{,}767} \approx 0{,}734.
Isso dá
\varphi \approx 2{,}315\\ \text{rad}\quad(\approx 132{,}8^\circ).
Se for preferível uma expressão exata para \varphi, pode-se escrever
\varphi = \arctan\!\left(\frac{b}{a}\right)+\pi = \arctan\!\left(\frac{4\sqrt{3}+3}{-(4+3\sqrt{3})}\right)+\pi,
levando em conta que houve ajuste de \pi porque a<0.

Passo 7

Portanto a onda resultante pode ser escrita de forma exata como
y_{\text{res}}(x,t) = \sqrt{25 + 12\sqrt{3}}\;\operatorname{sen}\!\Bigl(4x + 3t + \varphi\Bigr),
com
\varphi = \arctan\!\left(\frac{4\sqrt{3}+3}{-(4+3\sqrt{3})}\right)+\pi \approx 2{,}315\\ \text{rad}.
Ou, em forma aproximada numérica,
y_{\text{res}}(x,t) \approx 6{,}767\;\operatorname{sen}\!\bigl(4x + 3t + 2{,}315\bigr).

Resposta

y_{\text{res}}(x,t)=\sqrt{25+12\sqrt{3}}\;\operatorname{sen}\!\Bigl(4x+3t+\varphi\Bigr), \quad\text{com }\varphi=\arctan\!\Bigl(\dfrac{4\sqrt{3}+3}{-(4+3\sqrt{3})}\Bigr)+\pi\approx2{,}315\\ \text{rad}
\text{(aprox.: }y_{\text{res}}(x,t)\approx6{,}767\;\operatorname{sen}\!\bigl(4x+3t+2{,}315\bigr)\text{).}

Exercícios relacionados