Um frasco de vidro, cujo volume é 1,0 \times 10^{3} \mathrm{~cm}^{3}, está completamente cheio de mercúrio. Ambos estão na temperatura de 10^{\circ} \mathrm{C}. Quando o sistema é aquecido a 60^{\circ} \mathrm{C}, qual a quantidade de mercúrio que transborda?

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
  • Volume inicial do frasco (e do mercúrio) V_0 = 1{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • Temperatura inicial T_i = 10^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final T_f = 60^\circ\mathrm{C}.
  • O sistema (frasco + mercúrio) está inicialmente completamente cheio; ao aquecer, parte do mercúrio poderá transbordar.
    O que se pede:
  • A quantidade (volume) de mercúrio que transborda quando a temperatura sobe de 10^\circ\mathrm{C} para 60^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e bem mastigada).
  • Expansão volumétrica de um líquido: quando um líquido é aquecido por \Delta T a sua variação de volume é dada por
\Delta V_{\text{líq}} = V_0\,\beta_{\text{líq}}\,\Delta T,íí
onde V_0 é o volume inicial do líquido, \beta_{\text{líq}}í é o coeficiente de expansão volumétrica do líquido (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}) e \Delta T = T_f-T_i.
  • Expansão do frasco (sólido): o frasco de vidro tem coeficiente de expansão linear \alpha_{\text{vidro}}. A expansão volumétrica aproximada do sólido para pequenas variações é \beta_{\text{vidro}}\approx 3\alpha_{\text{vidro}}. Assim a variação de volume do frasco é
\Delta V_{\text{frasco}} = V_0\,\beta_{\text{frasco}}\,\Delta T \quad\text{com}\quad \beta_{\text{frasco}}\approx 3\alpha_{\text{vidro}}.
  • Se o líquido ocupar inicialmente todo o volume e ambos sofrem expansão, o volume que transborda é a diferença entre o aumento do volume do líquido e o aumento do volume do frasco, isto é
V_{\text{transbordo}} = \Delta V_{\text{líq}} - \Delta V_{\text{frasco}} = V_0\left(\beta_{\text{líq}}-\beta_{\text{frasco}}\right)\Delta T,íí
desde que \beta_{\text{líq}}>\beta_{\text{frasco}}í (caso contrário não transborda).

Passo 3

Escolha dos valores numéricos dos coeficientes (o enunciado não deu os coeficientes, então usamos os valores típicos de tabelas):
  • Coeficiente volumétrico do mercúrio: \beta_{\text{Hg}} \approx 1{,}8\times10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Coeficiente linear típico do vidro comum: \alpha_{\text{vidro}} \approx 9{,}0\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}. Portanto
\beta_{\text{frasco}} \approx 3\alpha_{\text{vidro}} = 3\times 9{,}0\times10^{-6}=2{,}7\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Explicação curta: usamos \beta_{\text{frasco}}\approx3\alpha porque um sólido que se expande linearmente nas três direções tem expansão volumétrica aproximadamente três vezes a expansão linear (válido para pequenas temperaturas).

Passo 4

Calcular a variação de temperatura:
\Delta T = T_f - T_i = 60^\circ\mathrm{C} - 10^\circ\mathrm{C} = 50^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do transbordo:
V_{\text{transbordo}} = V_0\left(\beta_{\text{Hg}}-\beta_{\text{frasco}}\right)\Delta T.
Substituindo os valores:
\beta_{\text{Hg}}-\beta_{\text{frasco}} = 1{,}8\times10^{-4} - 2{,}7\times10^{-5} = 1{,}53\times10^{-4}.
Agora a fração de volume que transborda:
\left(\beta_{\text{Hg}}-\beta_{\text{frasco}}\right)\Delta T = 1{,}53\times10^{-4}\times 50 = 7{,}65\times10^{-3}.
Finalmente o volume transbordado:
V_{\text{transbordo}} = 1{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{cm}^{3}\times 7{,}65\times10^{-3} = 7{,}65\\ \mathrm{cm}^{3}.

Passo 6

Interpretação e arredondamento: o resultado significa que cerca de 7{,}65\\ \mathrm{cm}^{3} de mercúrio vão transbordar. Para fins práticos pode-se dar como 7{,}7\\ \mathrm{cm}^{3} (duas casas significativas).

Resposta

7{,}65\\ \mathrm{cm}^{3}

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