Um tubo de vidro, com 1,20 m de altura, está cheio até a metade com um líquido \left(\gamma=5,0 \times 10^{-5} K^{-1}\right) a 20^{\circ} C. Qual a variação da coluna líquida se aquecermos o tubo até 80^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda):
  • Altura do tubo: 1{,}20\\ \mathrm{m}.
  • O tubo está cheio até a metade, ou seja a altura inicial da coluna de líquido é \,h_0=\dfrac{1{,}20}{2}=0{,}60\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura inicial: 20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final: 80^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de dilatação volumétrica do líquido: \gamma = 5{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}}.
  • O enunciado pergunta: “Qual a variação da coluna líquida se aquecermos o tubo até 80^\circ\mathrm{C}?” — ou seja, quer \Delta h = h'-h_0, a diferença entre a nova altura da coluna e a altura inicial.

Passo 2

Conceito que vamos usar (aula rápida e concreta sobre dilatação volumétrica de líquidos):
  • Para um líquido, o coeficiente de dilatação volumétrica \gamma relaciona a variação do volume com a variação de temperatura pela fórmula:
\Delta V = \gamma\,V_0\,\Delta T,
onde
  • \Delta V é a variação do volume do líquido,
  • V_0 é o volume inicial do líquido,
  • \Delta T é a variação de temperatura (em K ou °C, pois a diferença é a mesma).
  • Explicação simples: \gamma diz quanto, em fração do volume, o líquido aumenta por grau. Ex.: \gamma=5{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}} significa que, para cada grau, o volume aumenta em 5{,}0\times10^{-5} partes do volume inicial.

Passo 3

Relação entre variação de volume e variação da altura da coluna (princípio de conservação do volume dentro do tubo):
  • O volume inicial do líquido é V_0 = A_0\,h_0, onde A_0 é a área da seção transversal do tubo à temperatura inicial e h_0 é a altura inicial ( 0{,}60\\ \mathrm{m}).
  • Após aquecer, o volume do líquido será
V' = V_0 + \Delta V = V_0\,(1+\gamma\,\Delta T).
  • Se considerarmos que a área da seção transversal do tubo não muda significativamente (ou seja, estamos desprezando a dilatação do vidro da parede do tubo porque o enunciado não fornece o coeficiente do vidro), então a nova altura da coluna é
h'=\dfrac{V'}{A_0}=h_0\,(1+\gamma\,\Delta T).
  • Assim a variação da altura é
\Delta h = h'-h_0 = h_0\,\gamma\,\Delta T.
  • Observação importante (justificando a escolha do método): o enunciado só forneceu \gamma do líquido e não forneceu o coeficiente de dilatação do vidro. Por isso usamos a hipótese usual em exercícios básicos: a expansão do vidro é desprezível frente ao efeito pedido, ou não foi solicitada. Se fosse preciso considerar o vidro, seria necessário o coeficiente linear \alpha do vidro e a expressão muda (eu mostro isso depois como comentário opcional).

Passo 4

Aplicando os números passo a passo:
  • Primeiro calcule \Delta T:
\Delta T = 80^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=60\\ \mathrm{K}.
  • Já temos h_0=0{,}60\\ \mathrm{m} e \gamma=5{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}}. Então
\Delta h = h_0\,\gamma\,\Delta T = 0{,}60\cdot 5{,}0\times10^{-5}\cdot 60.
  • Faço as contas em etapas:
0{,}60\cdot 60 = 36,
5{,}0\times10^{-5}\cdot 36 = 180\times10^{-5} = 1{,}8\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Converter para milímetros (mais intuitivo):
1{,}8\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 1{,}8\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Comentário didático extra (para saber o que muda se considerarmos a dilatação do próprio vidro):
  • Se o tubo de vidro dilatar, a área da seção transversal aumenta. Para um material com coeficiente linear \alpha, a área cresce aproximadamente por um fator 1+2\alpha\Delta T. Nesse caso, a nova altura seria
h'=\dfrac{h_0(1+\gamma\Delta T)}{1+2\alpha\Delta T}\approx h_0\bigl(1+(\gamma-2\alpha)\Delta T\bigr),
para pequenas dilatações.
  • Então a variação aproximada seria
\Delta h \approx h_0(\gamma-2\alpha)\Delta T.
  • Como o enunciado não deu \alpha do vidro, não é possível calcular com precisão essa correção. Para ter uma ideia, se \alpha do vidro fosse \approx 9{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{K^{-1}} (valor típico), então \gamma-2\alpha\approx 3{,}2\times10^{-5} e a \Delta h cairia para cerca de 1{,}15\times10^{-3}\\ \mathrm{m} ( \approx1{,}15\\ \mathrm{mm}). Ou seja, a expansão do vidro reduz um pouco a subida do líquido, mas o enunciado não fornece dados para isso, por isso a resposta principal despreza essa correção.

Passo 6

Recapitulando e te animando: com os dados fornecidos e a hipótese razoável (desprezar a dilatação do vidro por falta do coeficiente), a coluna sobe pouco — milímetros — e a conta é direta e rápida. Vai dar tudo certo na prova; lembra dessa fórmula básica \Delta h = h_0\gamma\Delta T quando a área for constante.

Resposta

\Delta h = 1{,}8\times 10^{-3}\\ \mathrm{m} = 1{,}8\\ \mathrm{mm}

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