Um tubo de vidro, com
de altura, está cheio até a metade com um líquido
a
. Qual a variação da coluna líquida se aquecermos o tubo até
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda):
- Altura do tubo:
. - O tubo está cheio até a metade, ou seja a altura inicial da coluna de líquido é
. - Temperatura inicial:
. - Temperatura final:
. - Coeficiente de dilatação volumétrica do líquido:
. - O enunciado pergunta: “Qual a variação da coluna líquida se aquecermos o tubo até
?” — ou seja, quer , a diferença entre a nova altura da coluna e a altura inicial.
Passo 2
Conceito que vamos usar (aula rápida e concreta sobre dilatação volumétrica de líquidos):
- Para um líquido, o coeficiente de dilatação volumétrica
relaciona a variação do volume com a variação de temperatura pela fórmula:
onde
-
é a variação do volume do líquido, -
é o volume inicial do líquido, -
é a variação de temperatura (em K ou °C, pois a diferença é a mesma). - Explicação simples:
diz quanto, em fração do volume, o líquido aumenta por grau. Ex.: significa que, para cada grau, o volume aumenta em partes do volume inicial.
Passo 3
Relação entre variação de volume e variação da altura da coluna (princípio de conservação do volume dentro do tubo):
- O volume inicial do líquido é
, onde é a área da seção transversal do tubo à temperatura inicial e é a altura inicial ( ). - Após aquecer, o volume do líquido será
- Se considerarmos que a área da seção transversal do tubo não muda significativamente (ou seja, estamos desprezando a dilatação do vidro da parede do tubo porque o enunciado não fornece o coeficiente do vidro), então a nova altura da coluna é
- Assim a variação da altura é
- Observação importante (justificando a escolha do método): o enunciado só forneceu
do líquido e não forneceu o coeficiente de dilatação do vidro. Por isso usamos a hipótese usual em exercícios básicos: a expansão do vidro é desprezível frente ao efeito pedido, ou não foi solicitada. Se fosse preciso considerar o vidro, seria necessário o coeficiente linear do vidro e a expressão muda (eu mostro isso depois como comentário opcional).
Passo 4
Aplicando os números passo a passo:
- Primeiro calcule
:
- Já temos
e . Então
- Faço as contas em etapas:
- Converter para milímetros (mais intuitivo):
Passo 5
Comentário didático extra (para saber o que muda se considerarmos a dilatação do próprio vidro):
- Se o tubo de vidro dilatar, a área da seção transversal aumenta. Para um material com coeficiente linear
, a área cresce aproximadamente por um fator . Nesse caso, a nova altura seria
para pequenas dilatações.
- Então a variação aproximada seria
- Como o enunciado não deu
do vidro, não é possível calcular com precisão essa correção. Para ter uma ideia, se do vidro fosse (valor típico), então e a cairia para cerca de ( ). Ou seja, a expansão do vidro reduz um pouco a subida do líquido, mas o enunciado não fornece dados para isso, por isso a resposta principal despreza essa correção.
Passo 6
Recapitulando e te animando: com os dados fornecidos e a hipótese razoável (desprezar a dilatação do vidro por falta do coeficiente), a coluna sobe pouco — milímetros — e a conta é direta e rápida. Vai dar tudo certo na prova; lembra dessa fórmula básica
quando a área for constante.