Um anel de alumínio possui
de raio, tomado quando a temperatura é
. Qual o valor do raio quando a temperatura é
? Mostre que, de maneira geral, a área subentendida pelo anel varia como se a parte vazia estivesse preenchida pelo mesmo material.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados numéricos que peguei do enunciado:
- Raio inicial do anel:
(quando a temperatura é ). - Temperatura final:
. - Logo, a variação de temperatura é
.
- Raio inicial do anel:
- O enunciado pede duas coisas:
- Calcular o valor do raio do anel quando a temperatura é
. - Mostrar, de maneira geral, que a área subentendida pelo anel (a área do anel, ou seja, a área entre dois círculos) varia como se a parte vazia (o furo) estivesse preenchida pelo mesmo material — ou seja, provar que a área final é a área inicial multiplicada pelo mesmo fator que multiplicaria uma peça sólida do mesmo material.
- Calcular o valor do raio do anel quando a temperatura é
Passo 2
Entendendo a fórmula da dilatação linear (a ideia básica que vamos usar).
- Quando um corpo metálico homogêneo sofre um aumento de temperatura
, cada comprimento linear cresce aproximadamente segundo a lei da dilatação linear: onde: -
é o comprimento inicial, -
é o comprimento final após aquecimento, -
é o coeficiente de dilatação linear do material (unidade: ), -
é a variação de temperatura em .
-
- Para o alumínio usamos o valor típico
valor padrão para cálculos aproximados em problemas elementares. (Se o enunciado desse outro valor, usaríamos esse em vez deste.)
Explicação intuitiva: o coeficiente
diz quantas frações do comprimento original o material acrescenta por grau Celsius. Por exemplo,
significa acrescentar
do comprimento original.
Passo 3
Aplicar a fórmula ao raio do anel.
- O raio inicial é
. - A variação de temperatura é
. - O fator de alongamento linear é
Calcular explicitamente: então - Portanto o novo raio
é
Interpretação rápida: o raio aumentou
. Pode parecer muito para um anel pequeno, mas lembre-se que o enunciado deu
(dois quilômetros) como raio; para objetos muito grandes a expansão linear dá aumentos absolutos grandes.
Passo 4
Agora a parte geral: como varia a área do anel? (Prova algébrica detalhada.)
- Considere um anel cujo raio externo seja
e raio interno seja (estas letras são para o caso geral). A área inicial do anel (área da coroa circular) é - Após aquecimento
, ambos os raios aumentam segundo a dilatação linear: - A área final do anel passa a ser
- Fatorando
: - Ou seja,
Conclusão algébrica explícita: a área do anel é multiplicada pelo mesmo fator
que multiplicaria a área de qualquer porção do material (por exemplo, a área de um disco sólido). Portanto, é exatamente o mesmo que se a parte vazia (o furo) estivesse preenchida pelo mesmo material: tanto a parte preenchida quanto a “parte vazia” (o buraco) aumentariam sua área pelo mesmo fator, e a diferença — que é a área do anel — também aumenta pelo mesmo fator.
Passo 5
Aproximação para pequenos
e interpretação física simples.
- Como
costuma ser um número muito pequeno, podemos expandir: ignorando o termo quadrático muito pequeno. - Assim, para pequenas variações a área muda aproximadamente como
ou seja, a variação da área é aproximadamente - Interpretação física: um aumento de temperatura alonga todas as distâncias na mesma proporção; áreas (duas dimensões) recebem aproximadamente o dobro da fração relativa de aumento de um comprimento. Por isso a área do anel cresce exatamente na mesma proporção que cresceria se o furo estivesse preenchido — porque a expansão é homogênea em toda a peça.
Resposta
Raio final:
.
Variação geral da área do anel:
(aproximadamente
para
pequeno).