Um anel de alumínio possui 2,000 m de raio, tomado quando a temperatura é 10^{\circ} C. Qual o valor do raio quando a temperatura é 60^{\circ} C ? Mostre que, de maneira geral, a área subentendida pelo anel varia como se a parte vazia estivesse preenchida pelo mesmo material.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados numéricos que peguei do enunciado:
    • Raio inicial do anel: r_0 = 2{,}000\\ \text{m} (quando a temperatura é 10^\circ\mathrm{C}).
    • Temperatura final: 60^\circ\mathrm{C}.
    • Logo, a variação de temperatura é \Delta T = 60^\circ\mathrm{C}-10^\circ\mathrm{C}=50^\circ\mathrm{C}.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Calcular o valor do raio do anel quando a temperatura é 60^\circ\mathrm{C}.
    2. Mostrar, de maneira geral, que a área subentendida pelo anel (a área do anel, ou seja, a área entre dois círculos) varia como se a parte vazia (o furo) estivesse preenchida pelo mesmo material — ou seja, provar que a área final é a área inicial multiplicada pelo mesmo fator que multiplicaria uma peça sólida do mesmo material.

Passo 2

Entendendo a fórmula da dilatação linear (a ideia básica que vamos usar).
  • Quando um corpo metálico homogêneo sofre um aumento de temperatura \Delta T, cada comprimento linear L_0 cresce aproximadamente segundo a lei da dilatação linear: L = L_0\,(1+\alpha \Delta T),onde:
    • L_0 é o comprimento inicial,
    • L é o comprimento final após aquecimento,
    • \alpha é o coeficiente de dilatação linear do material (unidade: ^\circ\mathrm{C}^{-1}),
    • \Delta T é a variação de temperatura em ^\circ\mathrm{C}.
  • Para o alumínio usamos o valor típico \alpha = 2{,}4\times 10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1},valor padrão para cálculos aproximados em problemas elementares. (Se o enunciado desse outro valor, usaríamos esse em vez deste.)
Explicação intuitiva: o coeficiente \alpha diz quantas frações do comprimento original o material acrescenta por grau Celsius. Por exemplo, \alpha\Delta T = 0{,}0012 significa acrescentar 0{,}12\% do comprimento original.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao raio do anel.
  • O raio inicial é r_0 = 2{,}000\\ \text{m}.
  • A variação de temperatura é \Delta T = 50^\circ\mathrm{C}.
  • O fator de alongamento linear é s = 1+\alpha\Delta T = 1 + 2{,}4\times 10^{-5}\cdot 50.Calcular explicitamente: 2{,}4\times 10^{-5}\cdot 50 = 2{,}4\times 50\times 10^{-5} = 120\times 10^{-5} = 0{,}0012,então s = 1 + 0{,}0012 = 1{,}0012.
  • Portanto o novo raio r é r = r_0\,(1+\alpha\Delta T) = 2{,}000\cdot 1{,}0012 = 2{,}002{,}4\\ \text{m}.
Interpretação rápida: o raio aumentou 2{,}002{,}4 - 2{,}000 = 2{,}4\\ \text{m}. Pode parecer muito para um anel pequeno, mas lembre-se que o enunciado deu 2{,}000\\ \text{m} (dois quilômetros) como raio; para objetos muito grandes a expansão linear dá aumentos absolutos grandes.

Passo 4

Agora a parte geral: como varia a área do anel? (Prova algébrica detalhada.)
  • Considere um anel cujo raio externo seja R e raio interno seja r (estas letras são para o caso geral). A área inicial do anel (área da coroa circular) é A_0 = \pi\bigl(R^2 - r^2\bigr).
  • Após aquecimento \Delta T, ambos os raios aumentam segundo a dilatação linear: R' = R(1+\alpha\Delta T),\qquad r' = r(1+\alpha\Delta T).
  • A área final do anel passa a ser A' = \pi\bigl(R'^2 - r'^2\bigr) = \pi\bigl(R^2(1+\alpha\Delta T)^2 - r^2(1+\alpha\Delta T)^2\bigr).
  • Fatorando (1+\alpha\Delta T)^2: A' = \pi\bigl(R^2 - r^2\bigr)\,(1+\alpha\Delta T)^2.
  • Ou seja, A' = A_0\,(1+\alpha\Delta T)^2.
Conclusão algébrica explícita: a área do anel é multiplicada pelo mesmo fator (1+\alpha\Delta T)^2 que multiplicaria a área de qualquer porção do material (por exemplo, a área de um disco sólido). Portanto, é exatamente o mesmo que se a parte vazia (o furo) estivesse preenchida pelo mesmo material: tanto a parte preenchida quanto a “parte vazia” (o buraco) aumentariam sua área pelo mesmo fator, e a diferença — que é a área do anel — também aumenta pelo mesmo fator.

Passo 5

Aproximação para pequenos \alpha\Delta T e interpretação física simples.
  • Como \alpha\Delta T costuma ser um número muito pequeno, podemos expandir: (1+\alpha\Delta T)^2 = 1 + 2\alpha\Delta T + (\alpha\Delta T)^2 \approx 1 + 2\alpha\Delta T,ignorando o termo quadrático muito pequeno.
  • Assim, para pequenas variações a área muda aproximadamente como A' \approx A_0\,(1 + 2\alpha\Delta T),ou seja, a variação da área é aproximadamente \Delta A \approx 2\alpha\Delta T\;A_0.
  • Interpretação física: um aumento de temperatura alonga todas as distâncias na mesma proporção; áreas (duas dimensões) recebem aproximadamente o dobro da fração relativa de aumento de um comprimento. Por isso a área do anel cresce exatamente na mesma proporção que cresceria se o furo estivesse preenchido — porque a expansão é homogênea em toda a peça.

Resposta

Raio final: r = 2{,}002{,}4\\ \text{m}.
Variação geral da área do anel: A' = A_0\,(1+\alpha\Delta T)^2 (aproximadamente A' \approx A_0\,(1+2\alpha\Delta T) para \alpha\Delta T pequeno).

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