Um freio de tambor com sapatas externas girando no sentido horário tem diâmetro interno de 300 mm , onde as sapatas são acionadas pelo mesmo mecanismo. Determine: a- as forças nas sapatas e a forca de acionamento; b- as pressões nas sapatas; c- o torque de atrito; Dados: O momento na sapata da direita \mathrm{Mf}=330 \mathrm{Nm} e \mathrm{Mn}=550 \mathrm{~N} . \mathrm{m}. O material é moldado, \mathrm{a}=123 \mathrm{~mm}, \mathrm{C}=212 \mathrm{~mm}, largura das sapatas de 30 mm . Ângulo da sapata de \theta=120^{0}.
OBS: O coeficiente de atrito deverá satisfazer o momento
A pressão de operação deve ser a menor possível, e devem estar dentro da faixa.

Passo 1

O enunciado dá estes dados (vou listar exatamente os números fornecidos):
  • Diâmetro interno do tambor: 300\\ \mathrm{mm}.
  • Momento na sapata da direita (momento de atrito ao redor do pivô): \mathrm{M_f}=330\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Momento normal na sapata (momento devido à resultante normal em relação ao pivô): \mathrm{M_n}=550\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Distância a=123\\ \mathrm{mm} (distância do ponto de aplicação da resultante normal ao pivô da sapata).
  • Distância C=212\\ \mathrm{mm} (braço do atuador em relação ao pivô, onde é aplicada a força de acionamento).
  • Largura da sapata b=30\\ \mathrm{mm}.
  • Ângulo de contato da sapata com o tambor \theta=120^\circ.
O que o enunciado pede (resumindo claramente):
a) Determinar as forças nas sapatas e a força de acionamento.
b) Determinar as pressões nas sapatas.
c) Determinar o torque de atrito (o torque que as sapatas aplicam ao tambor).
Observação importante que vou usar como hipótese natural para resolver: \mathrm{M_f} e \mathrm{M_n} são momentos medidos em relação ao mesmo pivô da sapata; assim a resultante normal N e a resultante de atrito F_a satisfazem \mathrm{M_n}=N\cdot a e \mathrm{M_f}=F_a\cdot a. Também a força de atrito resulta de F_a=\mu N, com \mu coeficiente de atrito (o enunciado diz que o coeficiente deve satisfazer o momento — isso significa que \mu será obtido por \mu=\mathrm{M_f}/\mathrm{M_n}).
Vou assumir pressão de contato uniforme ao longo do arco de contato da sapata (modelo clássico) e que ambas as sapatas contribuem igualmente para o torque total (por isso poderei calcular torque por sapata e somar).

Passo 2

Encontrar o coeficiente de atrito \mu usando a relação entre os momentos no pivô.
Explicação do conceito usado: se o resultado normal total na sapata é N aplicado a uma distância a do pivô, o momento devido à normal é \mathrm{M_n}=N\cdot a. A resultante de atrito é F_a=\mu N e o momento de atrito em relação ao mesmo pivô é \mathrm{M_f}=F_a\cdot a=\mu N a=\mu \mathrm{M_n}. Assim \mu=\mathrm{M_f}/\mathrm{M_n}.
Cálculo:
\mu=\frac{\mathrm{M_f}}{\mathrm{M_n}}=\frac{330}{550}=0{,}6.

Passo 3

Calcular a resultante normal N na sapata a partir de \mathrm{M_n}.
Relação usada: \mathrm{M_n}=N\cdot a. Converter a para metros: a=123\\ \mathrm{mm}=0{,}123\\ \mathrm{m}.
Cálculo:
N=\frac{\mathrm{M_n}}{a}=\frac{550}{0{,}123}=4471{,}5447\\ \mathrm{N}\approx 4472\\ \mathrm{N}.
Interpretação: essa é a força normal resultante total que a sapata exerce sobre o tambor (por sapata).

Passo 4

Calcular a força de atrito tangencial F_a na sapata.
Relação usada: F_a=\mu N.
Cálculo:
F_a=\mu N=0{,}6\cdot 4471{,}5447=2682{,}9268\\ \mathrm{N}\approx 2683\\ \mathrm{N}.
Comentário: F_a é a força tangencial resultante disponível para gerar torque no tambor, por uma sapata.

Passo 5

Calcular o torque de atrito produzido por uma sapata no tambor e o torque total (duas sapatas).
Relação usada: o torque produzido por uma sapata é T_{\text{sapat,a}}=F_a\cdot R, onde R é o raio do tambor. Diâmetro 300\\ \mathrm{mm}\Rightarrow R=150\\ \mathrm{mm}=0{,}15\\ \mathrm{m}.
Cálculo por sapata:
T_{\text{sapat,a}}=F_a\cdot R=2682{,}9268\cdot 0{,}15=402{,}4390\\ \mathrm{N\cdot m}\approx 402{,}44\\ \mathrm{N\cdot m}.
Torque total (duas sapatas, supondo que ambas contribuem igualmente):
T_{\text{total}}=2\cdot T_{\text{sapat,a}}=2\cdot 402{,}4390=804{,}8781\\ \mathrm{N\cdot m}\approx 804{,}88\\ \mathrm{N\cdot m}.
Observação física: o momento dado \mathrm{M_f}=330\\ \mathrm{N\cdot m} era o momento de atrito medido sobre o pivô ( F_a\cdot a); o torque no tambor é diferente porque o braço é R, não a.

Passo 6

Calcular a pressão de contato uniforme p correspondente à resultante normal N.
Modelo e fórmula usados: pressão uniforme p sobre a área de contato da sapata (superfície cilíndrica) de largura b e ângulo \theta (em radianos). A área de contato é
A = R\cdot \theta \cdot b,
logo a resultante normal é
N = p\cdot A = p\cdot R\theta b \quad\Rightarrow\quad p=\frac{N}{R\theta b}.
Converter dados: b=30\\ \mathrm{mm}=0{,}03\\ \mathrm{m}. Ângulo \theta=120^\circ=\dfrac{2\pi}{3}\\ \mathrm{rad}\approx 2{,}0943951\\ \mathrm{rad}. R=0{,}15\\ \mathrm{m}.
Cálculo:
primeiro calcular R\theta b:
R\theta b=0{,}15\cdot 2{,}0943951\cdot 0{,}03=0{,}00942477796\\ \mathrm{m^2}.
Agora
p=\frac{4471{,}5447}{0{,}00942477796}=474{,}859\\ \mathrm{kPa}=0{,}474859\\ \mathrm{MPa}\approx 0{,}475\\ \mathrm{MPa}.
Expressão em unidades práticas: p\approx 0{,}475\\ \mathrm{MPa} = 0{,}475\\ \mathrm{N/mm^2}.
Comentário: o enunciado pede que a pressão operacional seja a menor possível e esteja “dentro da faixa”, porém a faixa aceitável não foi especificada no enunciado. O valor calculado acima é o que corresponde aos momentos fornecidos; para verificar conformidade com uma faixa de projeto é necessário informar essa faixa.

Passo 7

Calcular a força de acionamento F_{act} aplicada no braço C.
Relação usada: supondo que a força de acionamento aplicada ao braço de comprimento C gera o momento \mathrm{M_n} no pivô (equilíbrio de momentos), então
F_{act}=\frac{\mathrm{M_n}}{C}.
Converter C=212\\ \mathrm{mm}=0{,}212\\ \mathrm{m}.
Cálculo:
F_{act}=\frac{550}{0{,}212}=2594{,}3396\\ \mathrm{N}\approx 2594{,}34\\ \mathrm{N}.
Interpretação: esta é a força que o atuador deve aplicar no braço C para gerar o momento \mathrm{M_n} que produz a normal N calculada.

Passo 8

Resumo dos resultados com interpretação prática e verificação rápida de consistência.
  • Coeficiente de atrito obtido a partir dos momentos: \mu=0{,}6.
  • Força normal por sapata: N\approx 4472\\ \mathrm{N}.
  • Força de atrito por sapata: F_a\approx 2683\\ \mathrm{N}.
  • Torque de atrito por sapata no tambor: T_{\text{sapat,a}}\approx 402{,}44\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Torque total (duas sapatas): T_{\text{total}}\approx 804{,}88\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Pressão de contato uniforme correspondente: p\approx 0{,}475\\ \mathrm{MPa}.
  • Força de acionamento no braço C: F_{act}\approx 2594{,}34\\ \mathrm{N}.
Observação final de incentivo: deu trabalho organizar as relações de momentos e forças, mas o caminho lógico é sempre o mesmo: relacionar momentos no pivô com as resultantes (normal e de atrito), usar F_a=\mu N, e traduzir a resultante normal em pressão por meio da área de contato R\theta b. Com esses passos fica fácil refazer com outros dados se necessário.

Resposta

\mu=0{,}6
N \approx 4472\\ \mathrm{N} (força normal por sapata)
F_a \approx 2683\\ \mathrm{N} (força de atrito por sapata)
T_{\text{sapat,a}} \approx 402{,}44\\ \mathrm{N\cdot m} (torque por sapata)
T_{\text{total}} \approx 804{,}88\\ \mathrm{N\cdot m} (torque total, duas sapatas)
p \approx 0{,}475\\ \mathrm{MPa} (pressão de contato uniforme)
F_{act} \approx 2594{,}34\\ \mathrm{N} (força de acionamento no braço C)

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