Comentário didático rápido sobre o que foi usado: a troca u=e^{y} simplifica o dy em termos de du; a segunda troca t=\sqrt{11+u} transforma a raiz numa variável linear t e leva a uma integral racional que se decompõe em termos fáceis de integrar (constante e a forma 1/(t^{2}-a^{2})).
Passo 4
Integração do lado direito \displaystyle \int \sqrt{11+3x^{2}}\;dx.
Igualando as duas integrais (lado esquerdo = lado direito) obtemos a solução implícita geral. Colocando a constante de integração em um único termo C do lado direito, a solução implícita é
Observação final e prática para prova: essa é uma solução implícita aceitável. Para obter y explicitamente, definir S=\sqrt{11+e^{y}} e usar e^{y}=S^{2}-11 e y=\ln(S^{2}-11); porém obter S em função de x implica resolver uma equação transcendental (envolvendo S e \ln), sem forma elementar fechada em termos de funções elementares. Portanto, deixe a solução na forma implícita acima — é o resultado padrão em prova.