y^{\prime}=\sqrt{\frac{11+3 x^{2}}{11+e^{y}}}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y'=\sqrt{\frac{11+3x^{2}}{11+e^{y}}}
e pede encontrar a solução geral y(x) (não foram dadas condições iniciais). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A derivada está escrita como y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Não há condição inicial; portanto buscamos a família de soluções com uma constante arbitrária.
  • Observação sobre domínio: 11+e^{y}>0 para todo y, e 11+3x^{2}>0 para todo x, logo o lado direito está bem definido para todos x,y.

Passo 2

Interpretar e separar variáveis. Escrevendo y'=\dfrac{dy}{dx} temos:
\frac{dy}{dx}=\sqrt{\frac{11+3x^{2}}{11+e^{y}}}.
Multiplicando ambos os lados por \sqrt{11+e^{y}} e por dx (operações algébricas válidas aqui), obtemos a separação de variáveis:
\sqrt{11+e^{y}}\;dy=\sqrt{11+3x^{2}}\;dx.
Agora integramos ambos os lados.

Passo 3

Integração do lado esquerdo \displaystyle \int \sqrt{11+e^{y}}\;dy.
Fazemos a substituição u=e^{y}. Então du=e^{y}dy=u\,dy, portanto dy=\dfrac{du}{u}. Assim
\int \sqrt{11+e^{y}}\;dy=\int \frac{\sqrt{11+u}}{u}\;du.
Para integrar \displaystyle \int \frac{\sqrt{11+u}}{u}\,du façamos t=\sqrt{11+u}. Então u=t^{2}-11 e du=2t\,dt. Substituindo:
\int \frac{\sqrt{11+u}}{u}\,du=\int \frac{t}{t^{2}-11}\cdot 2t\,dt=\int \frac{2t^{2}}{t^{2}-11}\,dt.
Agora escrevemos a fração como soma:
\frac{t^{2}}{t^{2}-11}=1+\frac{11}{t^{2}-11},
logo
\int \frac{2t^{2}}{t^{2}-11}\,dt=2\int dt +22\int\frac{1}{t^{2}-11}\,dt.
Para \displaystyle \int\frac{1}{t^{2}-a^{2}}\,dt vale a fórmula (uma integral padrão)
\int\frac{1}{t^{2}-a^{2}}\,dt=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{t-a}{t+a}\right|+C.
Aqui a=\sqrt{11}. Portanto
2\int dt +22\int\frac{1}{t^{2}-11}\,dt=2t+22\cdot\frac{1}{2\sqrt{11}}\ln\left|\frac{t-\sqrt{11}}{t+\sqrt{11}}\right|+C.
Substituindo t=\sqrt{11+u}=\sqrt{11+e^{y}} obtemos o valor do lado esquerdo:
\boxed{\displaystyle \int \sqrt{11+e^{y}}\,dy =2\sqrt{11+e^{y}}+\sqrt{11}\,\ln\left|\frac{\sqrt{11+e^{y}}-\sqrt{11}}{\sqrt{11+e^{y}}+\sqrt{11}}\right|+C.}
Comentário didático rápido sobre o que foi usado: a troca u=e^{y} simplifica o dy em termos de du; a segunda troca t=\sqrt{11+u} transforma a raiz numa variável linear t e leva a uma integral racional que se decompõe em termos fáceis de integrar (constante e a forma 1/(t^{2}-a^{2})).

Passo 4

Integração do lado direito \displaystyle \int \sqrt{11+3x^{2}}\;dx.
Fatoramos 3 dentro da raiz:
\int \sqrt{11+3x^{2}}\;dx=\int \sqrt{3}\,\sqrt{x^{2}+\frac{11}{3}}\;dx=\sqrt{3}\int\sqrt{x^{2}+a^{2}}\;dx,
com a^{2}=\dfrac{11}{3} (ou a=\sqrt{11/3}).
Usamos a fórmula padrão (integral conhecida):
\int\sqrt{x^{2}+a^{2}}\;dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right|+C.
Aplicando e multiplicando por \sqrt{3}:
\int \sqrt{11+3x^{2}}\;dx=\sqrt{3}\left[\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+\frac{11}{3}}+\frac{11}{6}\ln\left|x+\sqrt{x^{2}+\frac{11}{3}}\right|\right]+C.
Simplificando a primeira parcela:
\sqrt{3}\cdot\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+\frac{11}{3}}=\frac{x}{2}\sqrt{3x^{2}+11}.
E simplificando a parte do logaritmo (absorvendo constantes se necessário) chegamos à forma conveniente
\boxed{\displaystyle \int \sqrt{11+3x^{2}}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{3x^{2}+11}+\frac{11}{2\sqrt{3}}\ln\bigl|x\sqrt{3}+\sqrt{3x^{2}+11}\bigr|+C.}

Passo 5

Igualando as duas integrais (lado esquerdo = lado direito) obtemos a solução implícita geral. Colocando a constante de integração em um único termo C do lado direito, a solução implícita é
2\sqrt{11+e^{y}}+\sqrt{11}\,\ln\left|\frac{\sqrt{11+e^{y}}-\sqrt{11}}{\sqrt{11+e^{y}}+\sqrt{11}}\right| =\frac{x}{2}\sqrt{3x^{2}+11}+\frac{11}{2\sqrt{3}}\ln\bigl|x\sqrt{3}+\sqrt{3x^{2}+11}\bigr|+C,
onde C é a constante arbitrária de integração.
Observação final e prática para prova: essa é uma solução implícita aceitável. Para obter y explicitamente, definir S=\sqrt{11+e^{y}} e usar e^{y}=S^{2}-11 e y=\ln(S^{2}-11); porém obter S em função de x implica resolver uma equação transcendental (envolvendo S e \ln), sem forma elementar fechada em termos de funções elementares. Portanto, deixe a solução na forma implícita acima — é o resultado padrão em prova.

Resposta

2\sqrt{11+e^{y}}+\sqrt{11}\,\ln\left|\frac{\sqrt{11+e^{y}}-\sqrt{11}}{\sqrt{11+e^{y}}+\sqrt{11}}\right| =\frac{x}{2}\sqrt{3x^{2}+11}+\frac{11}{2\sqrt{3}}\ln\bigl|x\sqrt{3}+\sqrt{3x^{2}+11}\bigr|+C

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