(Gravidade Modificada) Um pêndulo simples tem um período de
na superfície da Terra. Se ele for transportado para a superfície de um planeta fictício onde a aceleração da gravidade é o quádruplo da gravidade terrestre
, qual será o seu novo período de oscilação?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá um pêndulo simples que tem período na Terra igual a
. Em seguida o pêndulo é levado para um planeta onde a aceleração da gravidade vale
(quatro vezes a gravidade da Terra). A pergunta é: qual será o novo período de oscilação do mesmo pêndulo na superfície desse planeta fictício?
Informações dadas:
- Período na Terra:
. - Gravidade no planeta fictício:
. - Pressuposição implícita: o comprimento do fio do pêndulo
não muda quando o pêndulo é transportado.
O que se pede:
- Determinar o novo período
do pêndulo no planeta com .
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula do período de um pêndulo simples (pequenas oscilações). É importante entender de onde vem essa fórmula para saber quando podemos usá-la.
-
Modelo físico e aproximação: para pequenas oscilações (ângulos pequenos medidos em radianos), a equação do movimento do pêndulo se aproxima de uma equação de movimento harmônico simples. A aproximação chave é
quando é pequeno. -
Equação dinâmica (resumo do derivação):
- O torque restaurador é
. - Aproximando
por e usando com momento de inércia e aceleração angular , obtém-se
- Simplificando por
resulta
que é a equação de oscilador harmônico com frequência angular- O período
é relacionado a por
- O torque restaurador é
Aqui cada símbolo significa:
-
: período da oscilação (tempo de uma oscilação completa). -
: comprimento do fio do pêndulo. -
: aceleração da gravidade no local. -
: frequência angular das oscilações.
Essa fórmula vale quando as oscilações são pequenas e o fio é inextensível e de massa desprezível.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula ao nosso problema. Na Terra vale
No planeta com gravidade
o período será
Passo 4
Simplificamos a expressão para
:
Reconhecendo
, obtemos
Passo 5
Substituindo o valor dado
:
Resposta
b)