(Gravidade Modificada) Um pêndulo simples tem um período de 2,0 \mathrm{~s} na superfície da Terra. Se ele for transportado para a superfície de um planeta fictício onde a aceleração da gravidade é o quádruplo da gravidade terrestre (4 g), qual será o seu novo período de oscilação?
a) 0,5 \mathrm{~s}
b) 1,0 \mathrm{~s}
c) 2,0 \mathrm{~s}
d) 4,0 \mathrm{~s}
e) 8,0 \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado dá um pêndulo simples que tem período na Terra igual a 2{,}0\\ \mathrm{s}. Em seguida o pêndulo é levado para um planeta onde a aceleração da gravidade vale 4g (quatro vezes a gravidade da Terra). A pergunta é: qual será o novo período de oscilação do mesmo pêndulo na superfície desse planeta fictício?
Informações dadas:
  • Período na Terra: T_{\rm Terra}=2{,}0\\ \mathrm{s}.
  • Gravidade no planeta fictício: g' = 4g.
  • Pressuposição implícita: o comprimento do fio do pêndulo L não muda quando o pêndulo é transportado.
O que se pede:
  • Determinar o novo período T' do pêndulo no planeta com g'=4g.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula do período de um pêndulo simples (pequenas oscilações). É importante entender de onde vem essa fórmula para saber quando podemos usá-la.
  • Modelo físico e aproximação: para pequenas oscilações (ângulos pequenos medidos em radianos), a equação do movimento do pêndulo se aproxima de uma equação de movimento harmônico simples. A aproximação chave é \sin\theta \approx \theta quando \theta é pequeno.
  • Equação dinâmica (resumo do derivação):
    • O torque restaurador é \tau = -mgL\sin\theta.
    • Aproximando \sin\theta por \theta e usando \tau = I\alpha com momento de inércia I = mL^2 e aceleração angular \alpha = \ddot\theta, obtém-se
    mL^2\ddot\theta = -mgL\theta.
    • Simplificando por mL resulta
    \ddot\theta + \frac{g}{L}\theta = 0,
    que é a equação de oscilador harmônico com frequência angular
    \omega = \sqrt{\frac{g}{L}}.
    • O período T é relacionado a \omega por
    T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • T: período da oscilação (tempo de uma oscilação completa).
  • L: comprimento do fio do pêndulo.
  • g: aceleração da gravidade no local.
  • \omega: frequência angular das oscilações.
Essa fórmula vale quando as oscilações são pequenas e o fio é inextensível e de massa desprezível.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula ao nosso problema. Na Terra vale
T_{\rm Terra}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
No planeta com gravidade g'=4g o período será
T' = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g'}} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{4g}}.

Passo 4

Simplificamos a expressão para T':
T' = 2\pi\sqrt{\frac{L}{4g}} = 2\pi\frac{1}{2}\sqrt{\frac{L}{g}} = \frac{1}{2}\,2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
Reconhecendo 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} = T_{\rm Terra}, obtemos
T' = \frac{1}{2}T_{\rm Terra}.

Passo 5

Substituindo o valor dado T_{\rm Terra}=2{,}0\\ \mathrm{s}:
T' = \frac{1}{2}\times 2{,}0\\ \mathrm{s} = 1{,}0\\ \mathrm{s}.

Resposta

b) 1{,}0\\ \mathrm{s}

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