(Pêndulo Físico Clássico) Para que um pêndulo simples (fio e massa pontual) tenha um período exato de oscilação de 2,0 s num local onde g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e \pi^{2} \approx 10, qual deve ser o comprimento do fio?
a) 0,5 \mathrm{~m}
b) 1,0 \mathrm{~m}
c) 2,0 \mathrm{~m}
d) 4,0 \mathrm{~m}
e) 10,0 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que se segue:
  • Um pêndulo simples (fio e massa pontual) deve ter período de oscilação T=2,0\\ \mathrm{s}.
  • A aceleração da gravidade é g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Pode-se usar \pi^{2}\approx 10.
  • O enunciado oferece as alternativas:
    a) 0,5\\ \mathrm{m}
    b) 1,0\\ \mathrm{m}
    c) 2,0\\ \mathrm{m}
    d) 4,0\\ \mathrm{m}
    e) 10,0\\ \mathrm{m}.
O que é pedido: determinar o comprimento do fio L que produz exatamente o período T=2,0\\ \mathrm{s} nas condições dadas.

Passo 2

Modelo físico e equação básica (explicação passo a passo).
  • Considere \theta(t) o deslocamento angular pequeno do pêndulo em radianos, L o comprimento do fio e m a massa pontual. A força tangencial restauradora é aproximadamente -mg\sin\theta.
  • A equação do movimento (torque = momento de inércia vezes aceleração angular) para pequenas oscilações pode ser escrita como
mL\ddot{\theta}=-mg\sin\theta.
  • Explicando símbolos:
    • m = massa da bobina (cancela depois),
    • L = comprimento do fio (o que queremos),
    • \theta(t) = deslocamento angular em radianos,
    • \ddot{\theta} = segunda derivada de \theta em relação ao tempo (aceleração angular),
    • g = aceleração da gravidade.

Passo 3

Aproximação de pequeno ângulo e redução à oscilação harmônica.
  • Para pequenas oscilações em radianos vale a aproximação
\sin\theta \approx \theta.
  • Substituindo na equação do movimento obtemos
mL\ddot{\theta}\approx -mg\theta \quad\Rightarrow\quad \ddot{\theta} + \frac{g}{L}\,\theta = 0.
  • Essa é a equação de uma oscilação harmônica simples. Para esse tipo de equação a solução é senoidal com frequência angular
\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}.
  • O período T (tempo de uma oscilação completa) relaciona-se com \omega por
T=\frac{2\pi}{\omega}.

Passo 4

Expressão prática do período e isolando L.
  • Substituindo \omega na fórmula do período obtemos a fórmula padrão do pêndulo simples:
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
  • Isolando L (algébrica simples):
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\quad\Rightarrow\quad \frac{T}{2\pi}=\sqrt{\frac{L}{g}}
\Rightarrow\quad L=g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^{2}=\frac{g\,T^{2}}{4\pi^{2}}.
  • Aqui T é o período dado, g é a gravidade conhecida, e \pi é a constante matemática.

Passo 5

Cálculo numérico com os dados do enunciado (passo a passo sem pular etapas).
  • Dados: T=2,0\\ \mathrm{s}, g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} e \pi^{2}\approx 10.
  • Calcule T^{2}:
T^{2}=(2,0)^{2}=4,0\\ \mathrm{s^{2}}.
  • Substitua em L=\dfrac{g\,T^{2}}{4\pi^{2}}:
L=\frac{10\cdot 4,0}{4\pi^{2}}=\frac{40}{4\pi^{2}}=\frac{10}{\pi^{2}}.
  • Usando \pi^{2}\approx 10:
L\approx\frac{10}{10}=1,0\\ \mathrm{m}.
  • Conclusão numérica: o comprimento do fio deve ser 1,0\\ \mathrm{m}, que corresponde à alternativa b).

Passo 6

Observações rápidas e motivação (para a prova).
  • A fórmula T=2\pi\sqrt{L/g} só é exata na aproximação de pequenos ângulos (geralmente \theta em torno de poucos graus). Em provas de física básica, essa fórmula é a esperada.
  • Raciocínio rápido que cabe na prova: isolar L em T=2\pi\sqrt{L/g} e substituir T=2\\ \mathrm{s}, g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} e \pi^{2}=10 L=1\\ \mathrm{m}.

Resposta

b) 1,0\\ \mathrm{m}

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