(Pêndulo Físico Clássico) Para que um pêndulo simples (fio e massa pontual) tenha um período exato de oscilação de 2,0 s num local onde
e
, qual deve ser o comprimento do fio?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que se segue:
- Um pêndulo simples (fio e massa pontual) deve ter período de oscilação
. - A aceleração da gravidade é
. - Pode-se usar
. - O enunciado oferece as alternativas:
a)
b)
c)
d)
e).
O que é pedido: determinar o comprimento do fio
que produz exatamente o período
nas condições dadas.
Passo 2
Modelo físico e equação básica (explicação passo a passo).
- Considere
o deslocamento angular pequeno do pêndulo em radianos, o comprimento do fio e a massa pontual. A força tangencial restauradora é aproximadamente . - A equação do movimento (torque = momento de inércia vezes aceleração angular) para pequenas oscilações pode ser escrita como
- Explicando símbolos:
-
= massa da bobina (cancela depois), -
= comprimento do fio (o que queremos), -
= deslocamento angular em radianos, -
= segunda derivada de em relação ao tempo (aceleração angular), -
= aceleração da gravidade.
-
Passo 3
Aproximação de pequeno ângulo e redução à oscilação harmônica.
- Para pequenas oscilações em radianos vale a aproximação
- Substituindo na equação do movimento obtemos
- Essa é a equação de uma oscilação harmônica simples. Para esse tipo de equação a solução é senoidal com frequência angular
- O período
(tempo de uma oscilação completa) relaciona-se com por
Passo 4
Expressão prática do período e isolando
.
- Substituindo
na fórmula do período obtemos a fórmula padrão do pêndulo simples:
- Isolando
(algébrica simples):
- Aqui
é o período dado, é a gravidade conhecida, e é a constante matemática.
Passo 5
Cálculo numérico com os dados do enunciado (passo a passo sem pular etapas).
- Dados:
, e . - Calcule
:
- Substitua em
:
- Usando
:
- Conclusão numérica: o comprimento do fio deve ser
, que corresponde à alternativa b).
Passo 6
Observações rápidas e motivação (para a prova).
- A fórmula
só é exata na aproximação de pequenos ângulos (geralmente em torno de poucos graus). Em provas de física básica, essa fórmula é a esperada. - Raciocínio rápido que cabe na prova: isolar
em e substituir , e dá .
Resposta
b)