Frequência de Corte: A frequência de corte, \omega_{c}, é a frequência na qual a potência entregue à saída cai pela metade, o que corresponde à amplitude da tensão cair para um fator de 1 / \sqrt{2} de seu valor máximo. Mostre que, para este filtro, \omega_{c}=1 / R C.

Passo 1

O enunciado nos diz que, num filtro RC passa-baixo, a frequência de corte \omega_{c} é aquela em que a potência de saída cai à metade, isto é, a amplitude de tensão cai a 1/\sqrt{2} do seu valor máximo. Nosso objetivo é obter a expressão de \omega_{c} em função de R e C.

Passo 2

Para o filtro RC passa-baixo em que a resistência R está em série com o capacitor C e a saída é a tensão sobre C, a função de transferência é obtida pelo divisor de tensão:
H(j\omega)=\frac{Z_{C}}{R+Z_{C}}
onde Z_{C}=\dfrac{1}{j\omega C}. Substituindo, vem
H(j\omega)=\frac{\tfrac{1}{j\omega C}}{R+\tfrac{1}{j\omega C}} =\frac{1}{1+j\omega R C}\,.

Passo 3

A magnitude dessa função de transferência é
\bigl|H(j\omega)\bigr| =\frac{1}{\sqrt{1+(\omega R C)^{2}}}\,.

Passo 4

Pela definição de frequência de corte, impomos
\bigl|H(j\omega_{c})\bigr|=\frac{1}{\sqrt{2}}\,.
Logo,
\frac{1}{\sqrt{1+(\omega_{c}R C)^{2}}} =\frac{1}{\sqrt{2}}\,.

Passo 5

Elevando ao quadrado e resolvendo para \omega_{c}, obtemos
1+(\omega_{c}RC)^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad (\omega_{c}RC)^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \omega_{c}RC=1 \quad\Longrightarrow\quad \omega_{c}=\frac{1}{RC}\,.

Resposta

\omega_{c}=\dfrac{1}{RC}

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