O que significa conceitualmente o produto vetorial, \vec{a} \times \vec{b} ?
Passo 1
O enunciado pede para entender, de modo conceitual, o que representa o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b}. O conteúdo aqui é a geometria de vetores em \mathbb{R}^3 e as propriedades que ligam direção, magnitude e aplicações físicas dessa operação.
Passo 2
Geometricamente, \vec{a}\times\vec{b} é um vetor que é perpendicular ao plano determinado por \vec{a} e \vec{b}. O sentido desse vetor é dado pela regra da mão direita: se você posiciona o dedo indicador apontando em \vec{a} e o dedo médio em \vec{b}, o polegar indica a direção de \vec{a}\times\vec{b}. Em notação,
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Se \vec{a} e \vec{b} forem paralelos \theta=0 ou \pi, o seno é zero e \vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}, ou seja, área nula.
Perpendicularidade: \vec{a}\times\vec{b} é ortogonal a \vec{a} e a \vec{b}.
Passo 5
Fisicamente, o produto vetorial aparece em expressões de torque\vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F} e momento angular\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}. Nessas aplicações, a magnitude dá a “força de giro” e a direção indica o eixo de rotação segundo a regra da mão direita.
Resposta
Conceitualmente, \vec{a}\times\vec{b} é o vetor perpendicular ao plano de \vec{a} e \vec{b}, com magnitude igual à área do paralelogramo que eles formam e sentido determinado pela regra da mão direita, sendo anticomutativo e fundamental em fenômenos de rotação e torque.