O que significa conceitualmente o produto vetorial, \vec{a} \times \vec{b} ?

Passo 1

O enunciado pede para entender, de modo conceitual, o que representa o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b}. O conteúdo aqui é a geometria de vetores em \mathbb{R}^3 e as propriedades que ligam direção, magnitude e aplicações físicas dessa operação.

Passo 2

Geometricamente, \vec{a}\times\vec{b} é um vetor que é perpendicular ao plano determinado por \vec{a} e \vec{b}. O sentido desse vetor é dado pela regra da mão direita: se você posiciona o dedo indicador apontando em \vec{a} e o dedo médio em \vec{b}, o polegar indica a direção de \vec{a}\times\vec{b}. Em notação,
\vec{a}\times\vec{b} = -\,\bigl(\vec{b}\times\vec{a}\bigr),
mostrando que a operação é anticomutativa.

Passo 3

A magnitude de \vec{a}\times\vec{b} mede a área do paralelogramo formado por \vec{a} e \vec{b}. Em fórmula,
\bigl\|\vec{a}\times\vec{b}\bigr\| = \|\vec{a}\|\;\|\vec{b}\|\;\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Se \vec{a} e \vec{b} forem paralelos \theta=0 ou \pi, o seno é zero e \vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}, ou seja, área nula.

Passo 4

Algumas propriedades algébricas úteis são:
  1. Distributiva: \vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\times\vec{b} + \vec{a}\times\vec{c}.
  2. Escalar: (\lambda\,\vec{a})\times\vec{b} = \lambda\;(\vec{a}\times\vec{b}).
  3. Perpendicularidade: \vec{a}\times\vec{b} é ortogonal a \vec{a} e a \vec{b}.

Passo 5

Fisicamente, o produto vetorial aparece em expressões de torque \vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F} e momento angular \vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}. Nessas aplicações, a magnitude dá a “força de giro” e a direção indica o eixo de rotação segundo a regra da mão direita.

Resposta

Conceitualmente, \vec{a}\times\vec{b} é o vetor perpendicular ao plano de \vec{a} e \vec{b}, com magnitude igual à área do paralelogramo que eles formam e sentido determinado pela regra da mão direita, sendo anticomutativo e fundamental em fenômenos de rotação e torque.

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