A frequência da luz ultravioleta é 7,1 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}. Qual é o comprimento de onda (em nanômetros) da luz ultravioleta?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o comprimento de onda da luz ultravioleta sabendo a sua frequência. Os dados fornecidos são:
  • frequência \displaystyle f = 7{,}1 \times 10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
A pergunta é: qual é o comprimento de onda dessa luz em nanômetros?

Passo 2

A relação básica entre velocidade da luz, comprimento de onda e frequência é
c = \lambda\, f,
onde:
  • \displaystyle c é a velocidade da luz no vácuo (unidade: \mathrm{m/s});
  • \displaystyle \lambda é o comprimento de onda (unidade: \mathrm{m});
  • \displaystyle f é a frequência (unidade: \mathrm{Hz} = \mathrm{s^{-1}}).
Reescrevendo para encontrar \lambda:
\lambda = \frac{c}{f}.
Isto significa: comprimento de onda = velocidade da onda dividido pela frequência. Intuitivamente, se a frequência aumenta, o comprimento de onda diminui, e vice-versa.

Passo 3

Para aplicar a fórmula precisamos de um valor para \displaystyle c. Usamos a aproximação usual
c = 3{,}00 \times 10^{8}\\ \mathrm{m/s},
que é suficientemente precisa para cálculos de laboratório / prova. As unidades estão em metros por segundo, portanto o resultado inicial para \lambda virá em metros.

Passo 4

Calculemos \lambda em metros passo a passo:
\lambda = \frac{3{,}00 \times 10^{8}}{7{,}1 \times 10^{14}}\\ \mathrm{m}.
Separe a razão de coeficientes e a potência de dez:
\lambda = \frac{3{,}00}{7{,}1} \times 10^{8-14}\\ \mathrm{m}.
Agora a razão numérica:
\frac{3{,}00}{7{,}1} \approx 0{,}422535\ldots
e a potência de dez:
10^{8-14}=10^{-6}.
Portanto
\lambda \approx 0{,}422535 \times 10^{-6}\\ \mathrm{m} = 4{,}22535 \times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Converter metros para nanômetros: 1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm}. Multiplicando:
\lambda = 4{,}22535 \times 10^{-7}\\ \mathrm{m}\times 10^{9}\\ \frac{\mathrm{nm}}{\mathrm{m}} = 4{,}22535\times 10^{2}\\ \mathrm{nm}.
Isto é
\lambda \approx 422{,}535\\ \mathrm{nm}.

Passo 6

Arredondamento e siglas: o dado da frequência \displaystyle 7{,}1\times10^{14}\\ \mathrm{Hz} tem duas casas significativas; portanto faz sentido apresentar o resultado com duas algarismos significativos também. Arredondando para duas cifras significativas:
\lambda \approx 4{,}2 \times 10^{2}\\ \mathrm{nm} = 420\\ \mathrm{nm}.
Se preferir uma notação mais usual com três algarismos significativos (compatível com precisão prática), pode-se usar \displaystyle 423\\ \mathrm{nm}.
Vai dar tudo certo na prova — só lembrar da fórmula \lambda = c/f e da conversão de unidades!

Resposta

4{,}2\times10^{2}\\ \mathrm{nm}

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