Um capacitor está conectado à rede de 60 Hz e apresenta uma reatância capacitiva de 200 \Omega. Qual a sua capacitância?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Rede com frequência \,f=60\\ \mathrm{Hz}.
  • Reatância capacitiva do capacitor \,X_C=200\\ \Omega.
    O que se pede: calcular a capacitância \,C do capacitor.

Passo 2

Entendendo a relação essencial (explicação didática e intuitiva).
  • Em corrente alternada um capacitor não tem “resistência” fixa, mas uma oposição à variação da corrente chamada reatância capacitiva, denotada por \,X_C.
  • A fórmula que relaciona reatância capacitiva, capacitância e frequência é
X_C=\frac{1}{\omega C},
onde:
  • \,X_C é a reatância capacitiva em ohms ( \Omega);
  • \,C é a capacitância em farads (F);
  • \,\omega é a frequência angular em radianos por segundo, dada por \,\omega=2\pi f.
  • Intuição rápida: quanto maior a capacitância \,C, mais fácil passar corrente e menor é \,X_C; quanto maior a frequência \,f, menor também é \,X_C.

Passo 3

Isolando \,C a partir da fórmula:
X_C=\frac{1}{\omega C}\quad\Longrightarrow\quad C=\frac{1}{\omega X_C}.
Substituindo \,\omega=2\pi f obtemos a fórmula prática
C=\frac{1}{2\pi f X_C}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos passo a passo:
  • Calcular \,2\pi f:
2\pi f = 2\pi\cdot 60 = 120\pi\\ \text{(rad/s)}.
  • Multiplicar por \,X_C:
2\pi f X_C = 120\pi \cdot 200 = 24000\pi.
  • Inverter para obter \,C:
C=\frac{1}{24000\pi}\\ \mathrm{F}.
Fazendo a aproximação numérica:
24000\pi \approx 75398{,}2237\quad\Rightarrow\quad C\approx \frac{1}{75398{,}2237}\approx 1{,}3263\times 10^{-5}\\ \mathrm{F}.
Convertendo para microfarads ( 1\\ \mu\mathrm{F}=10^{-6}\\ \mathrm{F}):
C\approx 13{,}26\\ \mu\mathrm{F}.
Dica rápida para prova: para \,f=60\\ \mathrm{Hz} tem-se \,2\pi f\approx 377; assim \,C\approx \dfrac{1}{377\,X_C}, que dá o mesmo resultado mais rápido na cabeça.

Resposta

\displaystyle C=\frac{1}{24000\pi}\\ \mathrm{F}\approx 1{,}326\times10^{-5}\\ \mathrm{F}\approx 13{,}26\\ \mu\mathrm{F}

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